THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 7 



hvaraf erhålles 



(4) d m X+ id'"Y = (X m> + Y""i) (dx + idy)'\ 



Tillägga vi nu s och et samma betydelse som i föregående paragrafer, så är 



(5) dx = ds cos et, dy = ds sin a, 

 och formeln (4) kan skrifvas 



(6) d m X + id m Y = (X <m) + Y^i) (cos « + i sin «) m oY" 

 eller, på grund af Moivres theorem, 



(7) d"X+ id m Y = (X (m) + F w i) (cos m« + i sin m«) ds m , 

 som i sig innefattar de båda 



(8) d m X = (X {m) cos m « - - Y yn) sin m a) aV, 



(9) dT = (X (m) sin ma + F (m) cos ma) ds" 1 , 

 hvilka för det följande blifva af stor vigt. 



Komplexa Primär-kurvor. 



§ 4. 



Vi förstå i det följande med u eller f(z) en algebraisk, rationel och hel funktion 

 af n:te graden, der koefficienten för z" är positiv, och de öfriga reella, korteligen 



(1) az n + bz n ~ l + cz 11 -' 1 + + gz 2 + hz + k. (a > o) 



Denna funktion är uppenbarligen, likasom alla dess derivator, synektisk. 

 Sätta vi i denna expression 



(2) z = x -f yi, 

 så antager den formen 



(3) X+ Yi, 

 der 



(4) x = / (x) - 1/" (x) + 1 4 r (*) - £r(x) + , 



(5) Y= y[f{x) - §*/"'(*) + y ir W - £/"« + ]• 



Införa vi deremot ?■£*" i stället för z, så blir 



(6) X = ar" cos np + 6/-" -1 cos (n -- l)p -j- cr " _ 2 cos (w — 2)jp + 



-f~ #r 2 cos 2j9 -j- hr cos p -f" A;, 



(7) Y = ar 11 sin np -J- />r" - ' sin (w — 1)^3 -)- cr n ~ 2 sin (w — 2)p — 



-f~ gr" sin 2p -\~ hr sin ^. 

 Alla punkter i planet, hvilkas koordinater satisfiera de båda eqvationerna 



(8) X = Y = 0, 

 benämna vi rotpunkter till eqvationen /(z) = 0. 



Satisfiera en punkts koordinater icke blott systemet (8), utan äfven 



(9) X )= T = 0, 



(10) X" = Y" = 0, 



