8 C. F. E. BJÖRLING, 



och så vidare till och med 



(11) X (m ~ l] = Y ( - m ~ 1) =0, 

 raen deremot icke 



(12) X' m) = Y <m> = 0, 

 benämna vi den en m-faldig rotpunkt till eqv. f{z) = 0. 



Om nu variabeln z rör sig utefter den kurva, hvars eqvation är 



(13) F=0, 

 eller, såsom vi äfven skrifva den, 



(14) Y(x,y) = Q, 

 det vill säga, i rätvinkliga koordinater 



(15) y|/W - £/">) + g/V) - £/"'(*) + • • • • J = 0, 

 och i polar-koordinater 



(16) ar" sin np -)- fo""" 1 sin (« — 1) p -j- cr n_2 sin (?? — 2)j? -| [- ^r 2 sin 2j) -\- hr sinjp=0, 



så är m alltid = X, följaktligen reel. Således är i detta fall ,z'-axeln den sekundära 

 kurvan, (15) eller (16) den primära. Denna sednare innehåller uppenbarligen alla rot- 

 punkterna. 



Dä, under variabelns z rörelse utefter primär-kurvan, v. inträffar i origo, befinner 

 sig den förra i en rotpunkt. En viss båglängd af primär-kurvan innehåller ett jemnt 

 (inber. noll) eller udda antal rotpunkter, allteftersom mot dess ändpunkter svara w-valö- 

 rer af samma eller motsatta tecken. 



Af eqvationen (15) följa omedelbart några egenskaper hos primär-kurvan, nemligen: 



Den är symmetrisk i anseende till .x'-axeln; 



Den är oberoende af konstanten k, hvilken vi i det följande benämna eqvationens 

 f(z) = parameter. 



Den är beroende af konstanten h, hvilken vi benämna kurvans parameter ; 



Den består af två delar: 1) .£-axeln, 2) den kurva, hvars eqvation är 



( 1 7) f(x) - £/'"(*) + i fix) - %f™(x) + = 0, 



korteligen 



( 1 8) K(x, y) = eller K = ; 



vi benämna denna sednare den komplexa primär-kurvan, eller helt enkelt K-kurvan. 



§ i 



Eqvationen (4, 16) visar, att r blir i allmänhet oändligt stor för sin np — 0, 

 d. v. s. för 



(1) np = + In, (l helt tal eller noll) 



eller 



Detta gifver anledning till den förmodan, att vår primär-kurva har n rätliniga 

 ;is\ mptoter, af hvilka tvenne närliggande alltid bilda vinkeln - med hvarandra. Att så 



