THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 9 



verkligen är förhållandet, kunna vi öfvertyga oss om genom att undersöka polar-sub- 

 tangenten r 2 -^-> hvars uttryck blir, på grund af (4, 16), 



/n\ nam sin np + (n — 1) br" — l sin {n — 1) p -f- (n — 2) er" — 2 sin (w — 2) p -\- -f- %ff>' 2 sin 2p + hr sin p 



v ' nar» — i cos np + (n — 1) Jr» — 2 cos (n — l)p -\-{n — 2) cm — 3 C os (n — 2) p -\- -j- 2gr cos 2p + h cos p 



Ur samma eqvation erhåller man ock 



(4) ar n sin rap = — br"~ l sin (n — 1) p — er" -2 sin {n — 2) p — — gr 2 sin2p — hrsmp, 



eller 



(5) nar n sin np = -- nbr n ~ l sm (n — l)p — ncr n ~' 2 sm (n — 2)p — — ngr 2 s'm2p — nhrsinp; 



följaktligen kan (3) skrifvas 



br» — ! sin {n — 1) p + 2cr« — - sin (n — 2)p + + (« — 2) gr 2 siu 2p +(« — !) hr sin p 



(6) 



K«r» — > cos Kj) + {n 1) 5r« — - cos (// — 1) J? + + 2yr cos 2p + h coi p 



III 71 



hvilket blir, för r = <x> och p =— > 



z-\ b . mn . 



(t) sm — » 



v ■/ na n 



detta är således afståndet frän origo till den asymptot, hvars vinkel mot »-axeln är — • 



Abscissan för samma asymptots intersektionspunkt med »-axeln är alltså - — • 

 I denna punkt skära alla asymptoterna »-axeln. De bilda följaktligen en stjerna med 

 2n strålar, hvars midtpunkt är den nämnde skärningspunkten, »-axeln är emedlertid 

 blott så till vida att räkna dit, som den sjelf är beståndsdel af kurvan. 



För b = är origo asyinptot-stjernans midtpunkt. 



Vi beteckna i det följande de ofvanför »-axeln belägna asymptot-strålarne, i ord- 

 ning från höger till venster, med A, B, C, D, — ; de motsvarande symmetriska, nedan- 

 för samma axel belägna, med Ä,B',C',D', 



Af formeln (4, 6) följer då, att om z aflägsnar sig oändligt långt från origo, föl- 

 jande en gren af kurvan, hvars tillhörande asymptot-stråle är A,C,E, , eller i all- 

 mänhet af udda ordningsnummer {A eller A räknad för den första), tenderar X eller u 



mot ~ °° ; men deremot mot -f~ °° > om strålen är B,D,F, , eller i allmänhet af 



jemn ordningsnummer. 



§ 6. 



Låt x, y vara koordinaterna för en punkt af primär-kurvan; x-\-Zix, y-\-zly 

 koordinaterna för en punkt hvilkensomhelst i närheten af den förre. Emedan funktio- 

 nen Y är kontinuerlig, så har man, på grund af Taylors theorem och emedan Y{x, y) 

 är = 0, 

 U) T{f, + zfa, y + Jy) =- * i \A X J. + Ay l - Fj 



då vi här, likasom i det följande, begagna det symboliska uttrycket 



9 



K. Vet. Akail. Handl. B. 10. N:o 3. " 



