10 C. F. E. BJ URL ING, 



såsom likabetydande med 



(3) ** m + T A- - ' 4/ (Ä) + -'^ 4r- <V (=££*) + + 



betecknande med 



( 4 ) (S)' (5)' (H)' (Å4)' (^)' 



de respektiva partiella derivatorna. 



Eftersom ^/# och zfy kunna tagas huru små som helst, så kan tecknet för 

 Y(x -j- 4z", y -J- //y) göras beroende af 



Antaga vi nu, att punkten (x-\-Ax, y -\- Ay) är belägen pa kurvans normal, sa är 



(«) . . <*•(£) = *(£)■ 



och expressionen (5) kan skrifvas 



(-i 2 + i-t 



(7\ Av^ dx > ' rf W 



' dx) 



Vi särskilja nu trenne fall: 



l:o. Hvarken (g) eller (§) = 0. 



Expressionen (7) vexlar tecken på samma gång som Ax. Följaktligen gör 

 Y(x-\- Ax, y -f- Ay) det äfven, det vill säga att på ena sidan om kurvan ligga sådana 

 punkter, för hvilka funktionen Y(x, y) är positiv, med ett ord positiva punkter, på den 

 andra sidan negativa. De förra bilda tillsammans ett positivt fält, de sednare ett nega- 

 tivt. Kurvan åtskiljer alltså tvenne fält af motsatta tecken. 



2:o. Antingen (g ) eller (f ) = 0. 



Kurvans normal är då parallel med endera af koordinat-axlarne. Genom en 

 vridning af axel-systemet, som hvarken förändrar funktionens Y(x, y) gradtal eller dess 

 egenskap af kontinuitet, kan man reducera detta fall till det föregående, samt bevisa 

 på samma sätt so in der, att kurvan åtskiljer tvenne fält af motsatta tecken. 



Punkten (x, y) är då singulier. Vi skola närmare granska denna händelse i föl- 

 jande paragraf. 



§ 7. 



Vi gä nu att undersöka beskaffenheten af priinär-kurvans singuliera punkter, ute- 

 slutande dock frän var undersökning inflexions-punkterna. 



Vilkoret för, att en punkt S af kurvan skall vara singulier, är, som bekant, att 

 dess koordinater x, </ satisfiera systemet 



(o (si m =o. 



