12 C. F. E. BJÖRLING, 



helt enkelt 



(17) tg ma — tg m /'A 

 samt följaktligen 



(18) ma = mfi ± In, (l helt tal eller noll) 

 eller slutligen 



(19) a = /S± l 



ni 



Således har pr ii när-kurvan i punkten S m tangenter, af hvilka tvä närliggande all- 

 tid bilda vinkeln — med hvarandra. 



m 



Emedan expressionen i (8) tenderar mot 



(20) X (ra) sin roa -f Y" cos ma, 



vid indefiiiit aftagande R, kan denna qvantitet tagas nog liten, för att tecknet för den 

 förstnämnda expressionen må, i hvarje uppgifvet fall, kunna göras beroende af (20), 

 samt att således u-rötterna mellan och 2n till eqvationen (8) må blifva lika många 

 som och skilja sig huru litet som helst från de motsvarande ^-rötterna till eqv. (14). 

 Således är den singuliera punkten S en m-faldig multipel-punkt. 



Den är äfven en (ni -- l)-faldig rotpunkt till eqvationen f{z) = 0. Ty på grund 

 af formlerna (1) — (5) måste dess koordinater göra de ro-- 1 första differentialerna af 

 Y lika med noll för hvarje värde på a, således äfven på grund af (3, 9) satisfiera 

 eqvations-systemerna 



(21) X = T = 0, 



(22) X" = Y" = 0, 

 och så vidare till och med 



(23) X m ~ l) = Y" m - 1) = 0, 

 men deremot icke systemet 



(24) X {m) = Y {m) = 0. 



Denna sista sats kan uppenbarligen omvändas. Ligger en (m -- \)-faldig rotpunkt 

 till eqvationen f(z) = på primär-kurvan. sä är den en m-faldig multipel- punkt. 



§ 8. 



Innan vi gå vidare, måste vi framställa tvenne lånesatser. 

 Lemma I. 1 en eqvation. 



(1) aar m ~ l + bx 2m ~ 2 -\- +gx + H - 



af udda grad, hvars alla koefficienter äro reella, och den första positiv, kan man alltid 

 tilldela konstanten H en negativ valör, tillräckligt numeriskt stor, för att eqvationen ma 

 hafva en enda reel rot, hvilken är positiv; samt en positiv valör, tillräckligt stor, för att 

 eqvationen må hafva en enda reel rot, hvilken är negativ. Dessa rötters numeriska valö- 

 rer växa i oändlighet pä samma gång som konstantens. 

 Lemma 11. 1 en eqvation. 



(2) ax m + bx 2 '"-'+ +gx + H =- 



af jemn grad, hvars alla koefficienter äro reella, och den första positiv, kan man alltid 

 tilldela konstanten H en negativ valör, tillräckligt numeriskt stor, för att eqvationen må 



