THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIOXERS RÖTTER. 13 



hafva blott tvenne reella rötter, af hvilka den ena är positiv, den andra negativ; samt en 

 positiv valör, tillräckligt stor, för att eqvationen ej må hafva någon reel rot. De båda 

 förstnämnda rötternas numeriska, valörer växa i oändlighet på samma gäng som konstantens. 

 För att inse sanningen af dessa båda satser behöfver man blott erinra sig- be- 

 skaffenheten af de kurvor, som representera i rätvinkliga koordinater eqvationerna 



(3) y = ax^-^+bx*™- 1 + -\- gx -f H 



och 



(4) y = ax 2m + bx 2m ~ ] + -f gx + H; 



samt att man, genom att öka eller minska konstanten H, ej förändrar dessa kurvors 

 form, utan endast flyttar .r-axeln nedåt eller uppåt parallelt med sig sjelf. 



§ 9. 



För undvikande af onödig vidlyftighet antaga vi alltjemt i det följande, att den 

 framställda eqvationen 



(1) /(*) == o 

 blifvit befriad frän sin andra term, så att dess form är 



(2) az n -f bz n ~ 2 + cz n ~ s + + gz : + h: -f k = 0. (a >0). 



Då är origo asymptot-stjernans midtpunkt (§ 5). 



Radii vectores till den komplexa primär-kurvans intersektionspunkter med en rät 

 linie, som går genom origo och bildar vinkeln p med .r-axeln, äro de reella rötterna 

 tilll eqvationen 



(3) ar 71 ' 1 sin np -\- br n ~ 3 sin (n — 2) p -\- er" ~ 4 sin (n — S)j) -|- -\- gr sm 2p -\- h smp = 0. 



Vi antaga till en början, att n är jemnt. 



Inom intervallet XA, det vill säga för ->p>0, är sin np positiv. Alltså kan 

 man, på grund af Lemma I, tilldela konstanten h en negativ valör, tillräckligt nume- 

 riskt stor, för att eqvationen (3) må hafva en enda reel rot, hvilken är positiv; det vill 

 säga, att hvilken uppgifven stråle som helst mellan X och A skär kurvan, men blott i 

 en punkt. 



2 77 



a 



Inom intervallet AB, det vill säga för — >p>-, är sin np negativ. Vi ändr 

 tecken för eqvationens (3) alla termer; koefficienten för r n ~ l blir då positiv, och den 

 konstanta termen af motsatt tecken mot h. Man kan då, på grund af Lemma I, till- 

 dela konstanten h en negativ valör, tillräckligt numeriskt stor, för att eqvationen (3) 

 må hafva en enda reel rot, hvilken är negativ; det vill säga, att strålarne mellan A och 

 B icke skära kurvan, men väl deras förlängningar i vertikal-intervallet, hvar och en 

 dock blott i en punkt. 



Genom upprepande af dessa slutledningar för h varje intervall finner man, att åt 

 kurvans parameter kan tilldelas en negativ valör, tillräckligt numeriskt stor, för att kur- 

 van må erhålla det utseende, som fig. 1 utvisar för n = 4, fig. 32 för n = 6, och fig. 

 42 för n = 8; det vill säga, att den består af en gren, som skär den positiva ^-axeln 

 och har strålarne A och A' till asymptoter, samt af n — 2 andra, symmetriskt belägna 

 grenar, af hvilka hvar och en har till asymptoter en stråle af jemn ordningsnummer 

 (B, D, F, . . .) samt dess nästföljande. 



