THEORI FÖR AL6EBEAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 15 



§ U. 



Da kurvans parameter h är oändligt stor och negativ, äro de fält, som omgifvas 

 af lateral-grenar, positiva *); det, som innehåller origo, är negativt. Da deremot para- 

 metern är oändligt stor och positiv, äro lateral-fälten negativa, central-fältet positivt. 

 Under det parametern h växer oupphörligt, minskas de negativa fälten, ökas de 

 positiva. Men det kan aldrig hända, att ett nytt positivt fält bildar sig inuti ett nega- 

 tivt. Ty i sådan händelse skulle det begynna antingen med en punkt eller med en 

 linie. Det förra fallet skulle gifva en isolerad punkt; det andra en gren, omgifven a 

 ömse sidor af negativa fält. Båda äro omöjliga. 



Under det att de positiva fälten tillväxa, kan det hända, att tvenne af dem räkas. 

 Antag, att sådant sker för h = h x i punkten a (tig. I), h vilken följaktligen blir en dubbel- 

 punkt. Da h derefter vuxit med en oändligt liten qvantitet, finnes denna 

 multipel-punkt ej mer; de båda positiva fälten hafva sammansmält till 

 ett; de negativa, som råkades i punkten a, hafva nu blifvit trängda isär 



(%• ID- 



Men det kan aldrig hända, att tvenne positiva fält rakas på en gång 



i fiere än en punkt, vare sig att desse punkter äro oändligt mänga och 



sammanhängande i en linie, eller att de äro skilda. Ty det förra fallet 



skulle gifva en gren, omgifven å ömse sidor af positiva fält; det andra 



föranleda uppkomsten af en eller fiere slutna kurvor, omgifvande negativa 



fält, h vilka under parameterns fortgående tillväxt skulle sammankrympa 



till isolerade punkter. Båda äro omöjliga. 



Icke heller kan det inträffa, att tvenne positiva fält, hvilka redan förenat sig på 



ett ställe, råkas äfven på ett annat. Ty derigenom skulle en sluten kurva, omgifvande 



ett negativt fält, uppkomma, hvilket, enligt hvad nyss blifvit visadt, är omöjligt. 



Deremot kan det hända, att fiere än två positiva fält på en gång 

 sammanträffa i samma punkt. Fig. III och IV utvisa förloppet i den 

 händelse, att de sammanträffande fältens antal är tre. I sådant fäll 

 uppkommer tydligen en tre-dubbel punkt, och i allmänhet en multipel- 

 punkt, hvars ordningsnummer är lika med antalet af de positiva fält, som 

 sammanträffa. Ligger emedlertid en pä detta sätt uppkommen m-faldig 

 punkt af Zv-kurvan på .r-axeln, sa blir den uppenbarligen en (m-f-l)-faldig 

 punkt af primär-kurvan. 



§ 12. 



Då tvenne positiva fält rakas och sammansmälta, måste detta ske på något af 

 följande fyra sätt. 



1. Tvenne på samma sida om .t'-axeln belägna lateral-grenar, omgifvande positiva 

 fält, sammanträffa. Resultatet af föreningen blir uppenbarligen två nya lateral-grenar. 

 Ex. fig. 24—26; fig. 61—68. 



') Vi begagna här och i det följande benämningen positiva och negativa f;>lt med ständigt afseende på funk- 

 tionen K. 



