16 C. F. E. BJÖRLING, 



2. Tvenne på hvarsin sida om ,^-axeln belägna lateral-grenar råkas. I följd af 

 symmetrien måste den på detta sätt uppkomna multipel-punkten ligga på ^-axeln. 

 Resultatet af föreningen blir tvenne transversal-grenar. Ex. fig. 2 — 4; fig. 13 — 15; 

 fig. 43—45. 



3. En lateral- och en transversal-gren råkas. Resultatet af föreningen blir tvenne 

 dylika grenar, ehuru på annat sätt belägna. Ex. tig. 8 — 10; tig. 34 — 36; tig. 37 — 39. 



4. Tvenne transversal-grenar råkas. Detta måste ske i en punkt på #-axeln, ty 

 eljest skulle en sluten kurva, omgifvande negativt fält, uppkomma, hvilket är omöjligt. 

 Resultatet blir ett par lateral-grenar. Ex. tig. 16 — 18; 22 — 24; tig. 52—54. 



Vid och genom tvenne positiva fälts förening uppkommer således icke något an- 

 nat slag af grenar än de båda förut beskrifna; icke heller förändras grenarnes antal. 

 På samma sätt bevisas utan svårighet, att vid flere än tvenne fälts förening kan detta 

 ej heller inträffa. Lika litet kan det ske, under det de positiva fälten tillväxa utan att 

 råkas. Följaktligen består den komplexa primär-kurvan endast af transversal- och late- 

 ral-grenar, tillsammans n -- 1, utom i de undantagsfall, då multipel-punkt förekommer. 



§ 1 



En reel och enkel rotpunkt till eqvationcn f'(z) = är en dubbel-punkt af primär- 

 kurvan. Den ena af de derigenoin gående grenarne är naturligtvis ^-axeln; den andra 

 en transversal-gren, såframt den ej går till en multipel-punkt. Transversal-grenens 

 tangent är alltså vinkelrät mot x-axeln i skärningspunkten. 



Aro 2m rötter till eqvationen f(z) = komplexa, de öfriga n — 2m-- 1 reella 

 och olika, består alltså den komplexa primär-kurvan af 2m lateral- och n-- 2m-- 1 

 transversal-grenar, såframt ej multipel-punkt förekommer. 



En reel och (m -- l)-faldig rotpunkt till eqvationen /'(V) = är en m-faldig punkt 

 af primär-kurvan, ehuru naturligtvis blott en (ni-- 1)- faldig punkt af dess komplexa del. 



§ 14. 



I sin nedre gränsform innesluter den komplexa primär-kurvan n -- 1 positiva fält, 

 i sin öfre ett enda. 



Om, under parameterns kontinuerliga tillväxt frän - cc till -f- <*, de positiva 

 fälten sammansmälta två och två i sönder, så inträffa, eftersom vid hvarje sådan före- 

 ning fältens antal minskas med ett, i det hela n — 2 sådana föreningar. Således har 

 kurvan i detta fall, under sin ordbildning från nedre till öfre gränsformen, n — 2 (dubbla) 

 multipel-punkter. 



Mot hvarje multipel-punkt svarar ett visst värde på kurvans parameter. Deremot 

 kan kurvan, för ett dylikt xWvdr på parametern, ega två multipel-punkter - - såsom 

 alltid händelsen är, då dessa punkter äro komplexa — och äfven flere. Alltså gifves 

 det högst n--2 värden på h, för hvilka kurvan kan ega multipel-punkt. 



Om tre positiva fält på en gång sammansmälta, så uppkommer en tredubbel punkt, 

 och fältens antal minskas med två. Således motsvarar en tredubbel punkt två dubbla. 



