THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 17 



I allmänhet motsvarar en m-faldig punkt m--l dubbla, så att, om kurvan har 

 en dylik punkt, minskas antalet af dess multipel-punkter med m--2, och det gifves 

 då högst w--2 — (m — 2) = n-- m värden på h, för hvilka multipel-punkt kan före- 

 komma. 



Koordinaterna x och y för en multipel-punkt måste satisfiera såväl den komplexa 

 primär-kurvans eqvation 



(i) / w - £rw + ir w - £n*) + = o, 



som ock dess båda deriverade eqvationer, af hvilka den ena är 



(2) /» - ir\x) + g /%*) - £/™(*) + = 0; 



den andra kan skrifvas 



(3) y grw - ¥/ v w + ¥/"(*) - ] = o 



och således uppdelas i de tvenne 



(4) y = 



och 



(5) in») -- ¥/» + ¥/"(*) -- = °- 



Gör man y = i eqv. (2), så blir denna 

 (6) f"(x) = 0. 



Om således alla de n -- 2 rötterna till denna sista eqvation äro reella, så äro 

 kurvans alla multipel-punkter det äfven. Om blott m rötter till (6) äro reella, så äro 

 af multipel-punkterna m reella och n — m — 2 komplexa, såvida nemligen de alla äro 

 dubbla; eljest minskas det ena eller båda dessa tal, på sätt här ofvan visats. 



De komplexa multipel-punkternas koordinater måste satisfiera eqvationerna (2) 

 och (5). Dessa bilda tillhopa e^tt system, hvilket vi benämna ^-systemet. 



Botpunkteriias Platser. 



§ 15. 



Vi förutsätta i denna paragraf och den följande, att K-knrvan ej har någon mul- 

 tipel-punkt. 



Antagom till en början, att alla de n--l rötterna till eqvationen f(z) = äro 

 reella och olika. Vi beteckna dem, i ordning från höger till venster, med {»i, (»a, p 3 , — 



.... ?„_!. 



Z-kurvan består af n -- 1 transversal-grenar, af hvilka den första, AÄ, skär x- 

 axeln i punkten Q u Om /(?i) är > 0, finnes uppenbarligen en enda rotpunkt till eqv. 

 f(z) = på hvardera hälften af denna gren. Ty u eller X tenderar mot °° vid 



hvardera af dess båda ändar, denna variabel kan ej vända, utan att f{z) genomgår 

 origo, och har således blott ett maximum, f(j?i), under det z genomlöper hela grenen. 



K. Vet. Akad. Handl. B. 10. N:o 3. 3 



