18 C. F. E. BJÖRLING, 



Ju mindre /((>i) blir, desto mer närma sig dessa båda rotpunkter till punkten Q it 

 och för f(Pi) — sammanfalla de båda dermed, så att z = ?i blir en dubbel rot till 

 eqv. /(* ) = 0. 



Ar deremot /(^i) < 0, finnes uppenbarligen ingen rotpunkt på grenen AA. Der- 

 eraot ligger då en sådan på #-axeln till höger om Q ly ty u tenderar mot -\- oc vid än- 

 dan af denna axel. En annan dylik finnes mellan Pi och p 2 j såframt nemligen f((>j) är 

 > 0. Blir dereraot /(pa) = 0, så förenar sig denna sistnämnda rotpunkt med en annan, 

 från venster kommande, till en dubbel rot i p 2 - Slutligen, för /(p 2 ) < 0, aflägsna sig 

 dessa båda rotpunkter från hvarandra, följande hvarsin hälft af den transversal-gren, 

 BB', som genomgår p^. 



För hvarje annan transversal-gren kan samma slutledning upprepas, och resultatet 

 uttryckas sålunda: 



Om alla de n - - 1 rötterna till den deriverade eqvationen äro reella och olika, består 

 K-hurvan af n-~ 1 transversal-grenar ; 



Om vidare alla de värden pä f{z), som motsvara den deriveradr eqvationens rot- 

 punkter af udda ordningsnummer, äro negativa, och de, som motsvara rotpunkter af jemn, 

 positiva, sä <ivo alla rötterna till eqv. f{z) = reella och till sina lägen alternerande nod 

 den deriverade eqvationens; 



Om f(z) blir noll i en af den deriveradr eqvationens rotpunkter, sä förena sig tvenne 

 rötter till eqv. f(z) = derstädes till en dubbel; 



För hvarje positivt värde pä f(z), som motsvarar en rotpunkt af udda ordnings- 

 nummer till den deriverade eqvationen, och för hvarje negativt, som motsvarar en rotpunkt 

 af jemn, är en komplex rotpunkt till eqv. f(z) = belägen pä hvardera hälften af den 

 transversal-gren, som genomgår ifrågavarande rotpunkt till den deriverade eqvationen. 



Ar frågan endast om de reella rötternas antal och platser, kan resultatet uttryc- 

 kas helt enkelt sålunda: 



Om alla rötterna till eqv. f{z) = äro reella och olika, sä äro rötterna tillf(z) — 

 det äfvt n, såframt funktionens f(z) alla maxima äro positiva, och minima negativa. För 

 hvarje maximum dier minimum, som är = 0, blifva tvenne rötter lika. För hvarje posi- 

 tivt minimum eller negativt maximum blifva tvenne rötter komplexa. 



§ 16. 



Vi antaga nu, att 2m rötter till eqv. f\z) = äro komplexa, samt de öfriga 

 n--2m- 1 reella och olika, /v-kurvan består då af m par lateral- och n- 2m — 1 

 transversal-grenar. 



På hvarje lateral-gren finnes en enda rotpunkt till eqv. f(z) = 0. Ty, eftersom 

 den ena af dess tillhörande asymptot-strålar är af jemn, den andra af udda ordnings- 

 nummer, så måste A eller u tendera mot -f- co vid dess ena ända, mot - - qo vid den 

 andra,; denna variabel kan ej vända, under det z genomlöper hela grenen, och har så- 

 ledes derunder livarken maximum eller minimum. 



Genom en hvar af den deriverade eqvationens reella rotpunkter gar en transver- 

 sal-gren. De bland dessa grenar, hvilkas intersektionspunkter med , /-axeln äro af udda 

 ordningsnummer, hafva äfvcn asymptot-strålar af dylik nummer, och tvärtom. Följakt- 



