THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONEKS RÖTTER. 19 



ligen kunna de öfriga n -- 2m rotpunkternas till eqv. f(z) = platser bestämmas genom 

 en slutledning, lika med den i föregående paragraf använda, och vi uppställa följande sats: 



Om 2m rötter till den deriverade eqvationen äro komplexa, samt de öfriga reella och 

 olika, består K-kurvan af 2m låter al- och n — 2m-- 1 transv er sal-grenar ; 



Pä Kvar och en af de förra finnes alltid en enda rotpunkt; 



Om vidare alla de värden pä f\z), som motsvara den deriverade eqvationens reella 

 rotpunkter af udda ordningsnummer, äro negativa, och de, som motsvara rotpunkter af 

 jemn, positiva, så äro de öfriga n — 2m rötterna till eqv. f(z) = reella och till sina lä- 

 gen alternerande med den deriverade eqvationens; 



Om f(z) blir noll i en af den deriverade eqvationens reella rotpunkter, så förena sig 

 tvenne rötter till eqv. f{z) = derstädes till en dubbel; 



För hvarje positivt värde på f{z), som motsvarar en reel rotpunkt af udda ord- 

 ningsnummer till den deriverade eqvationen, och för hvarje negativt, som motsvarar en rot- 

 pankt af jemn, är en komplex rotpunkt till eqv. f(z) = belägen på hvardera hälften af 

 den transv er sal- gr en, som genomgår ifrågavarande rotpunkt till den deriverade eqvationen. 



Ar frågan endast om de reella rötternas antal och platser, kan resultatet uttryckas 

 helt enkelt sålunda: 



Om 2m rötter till eqv. f\z) -= äro komplexa, samt de öfriga reella och olika, sä 

 äro alltid åtminstone 2m rötter till f{z) = komplexa. De öfriga n -- 2m äro reella och 

 olika, såframt funktionens f{z) alla maxima äro positiva, och minima negativa. För hvarje 

 maximum dier minimum, som är = G, blifva tvenne rötter lika. För hvarje positivt mini- 

 mum eller negativt maximum blifva tvenne rötter komplexa. 



Af dessa satser framgår uppenbart, att en eqvations komplexa rötter i allmänhet 

 äro af tvenne olika slag. De enas tillvaro beror på den deriverade eqvationens kom- 

 plexa rötter; de äro lika många som dessa sednare; de äro belägna på lateral-grenar, 

 och deras antal förändras ej, huru man än låter eqvationens parameter variera. Vi 

 föreslå på grund häraf för dem benämningen deriverade komplexa rötter. De andra 

 deremot, hvilka vi vilja kalla egna komplexa rötter, bero deremot af denna parameters 

 värde; genom att förändra detsamma kan man godtyckligt öka eller minska deras antal 

 inom vissa gränser; de äro belägna på transversal-grenar. 



§ 17. 

 Antagom nu, att primär-kurvan har en m-faldig multipel -punkt *S. Vi säga, att 

 i den sammanträffa 2m half grenar af kurvan. Dess koordinater x och y satisfiera eqva- 

 tions-systemerna 

 (i) X=F = 0, 



(2) X"=Y"=0, 

 och så vidare till och med 



(3) x { - m -' ) = F ( "- 1) = 0, 

 men deremot icke systemet 



(4) X (m) = F w = 0. 



Vi skola nu undersöka tecknet för det inkrement, som funktionen X eller, såsom 

 vi kunna skrifva den, X{x,y) erhåller, då z utgår från S, följande någon gren af kurvan. 



