20 C. F. E. BJÖRLING, 



På grund af såväl formlerna (1) — (4), som ock (3, 8) måste punktens S koordinater 

 göra de m -- 1 första differentialerna af X lika med noll för hvarje värde på « och 

 således satisfiera eqvations-systemerna 



© m = (§) = o, 



( 6 ) (51) = (£%) = (tf) = °» 



och så vidare till och med 



men deremot icke systemet 



/o\ / <* m X \ _ = / ^ m -Y \ == == / d«x \ 1&*X\ 



\°/ \dx»<l [dxm-idi/j \dxdym-\] \dy m ] 



Låta vi då x -j- ^/#, y -\- Jy betyda koordinaterna för en punkt af primär-kurvan 

 i närheten af S, så erhålles på grund af Taylors theorem 



(V X* + **, V + ^) - X{X, y)=±[j X ±+Jy ±) m X + 



+ ^ (^ é + ^ ^r +lx + ' 



eller, om vi sätta 



(10) Ax = R cos v, Ay = R sin v, 



(11) X(x+Jx,y+Ay)-X(x,y) = ^(co S v^ + smv±) m X+R>" + 1 ]*, 



der med JV förstås en qvantitet, som åtminstone icke blir oändlig, då R tenderar mot noll. 

 Man kan uppenbarligen göra R nog litet, för att tecknet för eqvationens (11) 

 venstra membrum, det vill säga det ifrågavarande inkrementet, må blifva detsamma 

 som koefficientens för — -* i det högra. På samma sätt som i § 7 kunna vi visa, att 

 denna koefficient tenderar, vid indefinit aftagande R, mot 

 (19) « 



eller 



(13) X {m) cos ma - - Y {m) sin m «, 



samt att således inkrementets tecken kan göras beroende af (13). 



Den vinkel /?, som tangenten till en gren af kurvan i punkten S bildar med x- 

 axeln, skall, på grund af (7, 16), satisfiera eqvationen 



(14) ^ tgm* = -5g, 



ur hvilken man erhåller 



(15) )" sin mPYiX^f + {Y {m) )\ X im) = cos mft V (X m) ) 2 -f (F^) 2 ; 

 således kan expressionen (13) skrifvas 



(16) cos m(« — /?) \ r (X r " ; ) ,, + (r ( " , )% 

 hvilken qvantitet, om i stället för « successivt insattes 



(17) Afi+$fi+%>fi+% ' 



för hvarje gång vexlar tecken. Alltså finner man, att 



