THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 21 



om z utgår från multipel-punkten, följande tvenne konsekutiva grenar af kurvan, så 

 växer X eller u utefter den ena grenen, aftager utefter den andra. 



§ 18. 



På grund häraf inses nu lätt sanningen af följande sats: 



Om u eller X är = i en m-faldig multipel- punkt af den primära kurvan, så är 

 densamme en m-faldig rotpunkt till eqv. f(z) = 0. Blir u > i samma punkt, så kommer 

 en enkel rotpunkt till samma eqvation pä hvarannan af de i punkten sammanträffande 2m 

 halfgrenarne. Blir u < der sammastädes, sä kommer en enkel rotpunkt på livar och en 

 af de öfriga half -grenarne. 



Ligger multipel-punkten S på .r-axeln, tillhöra endast m - - 1 grenar iv-kurvan, 

 ty #-axeln sjelf är den m:te. Ar då m udda = 2£-f-l, så är klart, att, om A' eller u 

 växer utefter den från «S* utgående positiva #-axel-rigtningen, måste den aftaga utefter 

 den negativa, och tvärtom. Således kan, i händelse X ej är = i S, ej mer än en af 

 de ifrågavarande 2/ — | — 1 rotpunkterna ligga på #-axeln, d. v. s. vara reel, och vi erhålla 

 följande korollarium af föregående sats: 



En 2l-faldig reel rot z = q till eqv. f'(z) =■ minskar antalet af eqvationens f(z) = 

 reella rötter med 21, såframt icke f(p) är — 0, då Q är en (21 -\~ \)-faldig rot till eqv. 

 /(*) = 0. 



Är deremot m jemnt = 21, så är klart, att, om X eller u växer utefter den från 

 S utgående positiva A'-axel-rigtningen, måste den äfven växa utefter den negativa, och 

 tvärtom. I förra fallet har a i S ett reelt minimum, i sednare fallet ett reelt maximum. 

 Således måste, i händelse A ej är = i S, antingen två eller ingen af de ifrågavarande 

 21 rotpunkterna ligga på «r-axeln, d. v. s. vara reella, och vi erhålla följande andra 

 korollarium af föregående sats: 



En (21-- \)-faldig reel rot z — p till eqv. f'(z) — minskar antalet af eqvationens 

 f(z) = reella rötter med 2/ - 2, om f(o) är ett positivt maximum eller negativt minimum, 

 och med 21, om f(p) är ett negativt maximum eller positivt minimum ; är deremot f (q) — 0, 

 sä är p en 2l-faldig rot till eqv. f(z) = 0. 



Tillämpning på Numeriska Eqvationer. 



§ 19. 



Åtskiljandet af rotpunkterna till en framställd eqvation 



(1) f(z) - az 11 -f bz n ~ 2 -f cz n ~ s + + gz % -f hz + k = 0, (a > 0) 



äfvensom bestämmandet af de olika platser, som dessa punkter successivt intaga, under 

 det eqvationens parameter k växer kontinuerligt frän =o till -f- oo, består af tvenne 

 momenter, nemligen: 1) konstruktionen af den komplexa primär-kurvan, och 2) bestäm- 

 mandet af funktionens f(z) valörer för åtskilliga punkter af densamma. 

 Det förra momentet innebär den egentliga svårigheten. 



