THEORI FÖR AL G K BK AI SK A EQVATIONERS RÖTT K K. 23 



§ 20. 



Ex. 1. Att finna rotpunkternas till eqvationen 



f( z ) = z -- I5z 3 + 5r + 50z + k = 

 platser för olika värden på parametern k. 

 Den deriverade eqvationen 



z* — 9* 2 +2^+10-0 

 har fyra reella rötter, nemligen 



pi = + 2,59773; ,0, = -f 1,31055; s O s = - 1 ; p 4 = - - 2,91728; 



följaktligen består X-kurvan af fvra transversal-grenar. Af samma skäl kan var eqva- 

 tion ej hafva några deriverade komplexa rötter. 

 Ur den primära kurvans eqvation 



r° sin öp — 15/ ,? ' sin Bp A- ör~ sin 2jj -\- 50r sin_/> -}- k = 

 erhålles 



A(r) = — 15r 2 sin -g- -f- 5r sin -g- -f- 50 sin y 



Z>(r) = — 15r 2 sin -g- -\- hr sin -g — f— 50 sin -g- 5 



samt följaktligen 



a = l,(iiio) ; c/ = 1,?7828. 



Alltså kan kurvan ej hafva någon annan form, än den fig. 16 utvisar. 



Substitution gifver 



( ?1 ) == k A- 18,973; (?_/) = k + 44,219; ( s o 3 ) = & — 31; 

 (?j) = & -f~ 57,8oö; (a) = & -J- 77,734; (g?) == & — 55,451 ; 

 oeh således kan man genom följande högst enkla slutledning finna rotpunkternas platser. 



Då /: är < -- 77,734, äro alla sex substitutions-resultaterna negativa. 



Emedan f(z) är negativ i p 1} men positiv längre åt höger på #-axeln, måste en 

 reel rotpunkt ligga till höger om (v 



Emedan f{z) är negativ i er, men blir förr eller sednare positiv, om man följer 

 träns versal-gren en BB' uppåt, så ligger en komplex rotpunkt på denna gren i inter- 

 vallet AB. En dermed svmmetrisk linser naturligtvis nedanför .r-axeln. 



Emedan f(z) är negativ i (> 4 , men blir förr eller sednare positiv, om nian följer 

 transversal-grenen DD' uppåt, så ligger en komplex rotpunkt på denna gren i inter- 

 vallet DX. En dermed symmetrisk ligger nedanför .r-axeln. 



Dermed äro alla fem rotpunkternas platser bestämda för k < - 77 ,734. 



Då k blir = - 77,734, är (a) = 0. Således ligger då en rotpunkt i a, uppenbar- 

 ligen densamme, som förut var belägen i intervallet AB. Då k ytterligare växer, flyttar 

 sig samme rotpunkt in i intervallet XA, alltjemt följande grenen BB'. 



Det fullständiga resultatet af den på samma sätt fortsatta diskussionen innehålles 

 i följande 



