THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 31 



§ 27. 



Som man miner, är det endast -^-systemets solution, som kan förorsaka någon 

 egentlig svårighet. De vidlyftiga räkningar, som stundom dertill erfordras, kan man 

 emedlertid ganska ofta genom åtskilliga artificier undvika. Bland dessa anföra vi här 

 endast ett, dels emedan detta kommer att i det följande användas, dels emedan det 

 grundar sig på ett theorem, som redan i och för sig är af stor vigt. Detta theorem 

 lyder sålunda: 



Då K-kurvans till eqvationen f(z) = parameter växer indejinit at det negativa eller 

 positiva hållet, mäste alltid den deriverade eqvationens komplexa rotpunkter till sist komma 

 att ligga i sådana fält, der funktionen K är negativ eller positiv, respektive. 



Antagii vi nemligen, såsom förut, 



(1) f(z) - az" + hz 11 - 2 + cz n ~ s + -f ge 2 + hz + k, (a > o) 



så måste den deriverade eqvationens rotpunkters koordinater satisfiera eqvations-systemet 



(2) nar"" x cos (n — 1)/+ (n— 2)ér"- 3 cos (n- 3)p + (n — S)cr n ~ i eos (n— 4)p + + 



-\- 2gr cos p -\- h = 0, 



(3) nar"-' sin (n--l )p + (n — 2)br"- 3 sin (n — S)p + (n— 3Vr r '- 4 sin (n — 4)p -f -f 



-j- '2gr sin p = 0. 

 Asymptot-stjernan till den kurva, som representerar eqvationen (3), har 2(n-- 1) 

 strålar, af hvilka tvenne närliggande alltid bilda vinkeln - ^ med hvarandra. 



^ p n — 1 



Då // växer indefinit åt det negativa hållet, aflägsna sig den deriverade eqvatio- 

 nens komplexa rotpunkter indefinit från origo. följande grenar af kurvan (3), hvilkas 

 asymptot-stråles vinkel mot .r-axeln är 



2m . i 



(m helt tal, ej noll) 



n — i ' 



följaktligen kan h alltid tagas tillräckligt numeriskt stort, för att en dylik rotpunkts, 

 h vilken som helst, argument p må afvika huru litet som helst frän detta sistnämnda 

 värde, och således cos(w--l)/> huru litet som helst från cos 2w-t eller 1. Följaktligen 

 kan eqv. (2), hvilken vi ju äfven kunna skrifva 



(4) na cos (n - \)p + (n — 2)^ cos (n - d)p -f- -f- 2 ^f—, cos p + -^ = 0, 



sättas under formen 



(5) n«(l + «*) + ^ + ^ = <>, 



då med Ö och M förstås tvenne reella qvantiteter, af hvilka den förra tenderar mot 

 noll, och den sednare åtminstone icke blir oändligt stor, då h och r växa indefinit. 

 Går man nu öfver till Ii mes, erhalles af (5) 



(6) na + lim -^^ = 0. 



Vi skola nu undersöka det tecken, som funktionen Å' eller 



(v\ n — lamnp i , n _ 3 sin(w — 2)p , , sin 2» i , 



( ( ) ar -t— f + or = + 4- ar -~ 4- h 



sin p • -in ji • • « v sm]) ' 



antager för ifrågavarande Ii, r och p. Emedan r alltid är positivt, har denna funktion 

 samma tecken som 



/ n\ sin np | b sin (n — 2)p | | g sin 2p | h 



sin p I r 2 sin p l~ I" r» — 2 sinp ' r» — ' 



