32 C. F. E. BJÖRLIXG, 



Ii vilken, eftersom 



. 2 m nn 



sin 



(9) -F 1 är - 1, 



sin ^ 



H — 1 



uppenbarligen kan skrifvas 



(10) a(l + *) + £+;én' 



då med * och N förstås reella qvantiteter, af hvilka den förra tenderar mot noll, och 

 den sednare åtminstone icke blir oändligt stor, då h och r växa indefinit. Går man 

 nu öfver till limes, blir (10) 



(11) a + lim^» 



det är, på grund af (6), 



(12) (l--n)a, 



som uppenbarligen är negativ. Dermed är förra delen af theoremet bevisad. 



Da deremot h växer indefinit åt det positiva hållet, afiägsna sig den deriverade 

 eqvationens komplexa rotpunkter indefinit från origo, följande grenar af kurvan (3), 

 hvilkas asymptot-stråles vinkel mot »-axeln är 



^--^; (m helt tal, ej noll) 



följaktligen kan h alltid tagas tillräckligt stort, för att en dylik rotpunkts, hvilken som 

 helst, argument p ma afvika huru litet som helst från detta sistnämnda värde, och så- 

 ledes cos(w-- \)p huru litet som helst från cos (2m l)n eller 1. Följaktligen kan 

 eqvationen (2) sättas under formen 



(13) -na(l +<>) + £+ ^1 = 0, 



då med å och M förstås samma slags qvantiteter som här ofvan. Gar man nu öfver 

 till limes, erhålles af (13) 



(14) -na + lim^ I = 0. 



Vi skola nu undersöka det tecken, som funktionen (8) antager för ifrågavarande 

 h, r och p. Eftersom 



. (2m 



sin 



n - 



\))17I 



1 



-1, 



. i -i in 

 sin 



-1)71 



(15) 



n- 1 



kan densamma uppenbarligen skrifvas 



(16) -fl(l + *) + F + ^r = 0. 



då med « och N förstås samma slags qvantiteter som här ofvan. Går man nu öfver 

 till limes, blir (16) 



(17) _ a + li ra -A_ = o, 

 det är, pa grund af (14), 



(18) (n- l)fl, 



som uppenbarligen är positiv. Dermed är äfven sednare delen af theoremet bevisad. 



