THEORI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER, 33 



§ 28. 



Det är i sjelfva verket eqvationens f'(z) = deriverade komplexa rotpunkter, hvilka, 

 rid sin öfverg äng från negativt till positivt fält, bilda K-kurvans komplexa multipel-punkter. 



Ty antagom, att eqv. f"{z) = har ra komplexa rötter, och således eqv. f\z) = 

 lika många deriverade komplexa, samt att i£-kurvans alla komplexa multipel-punkter 

 äro dubbla och följaktligen till antalet m. Enhvar af eqvationens f'(z) = deriverade 

 komplexa rotpunkter måste, under det h växer från - - co till -\- cc, åtminstone en gång 

 passera K-kurvan för att kunna öfvergå från negativt till positivt fält. Vid hvarje 

 sådan öfvergång uppkommer en multipel-punkt i Z-kurvan, och denne måste vara 

 komplex, ty den ifrågavarande rotpunkten träffar under sin rörelse aldrig j;-axeln. 

 Ingen af de ifrågavarande komplexa rotpunkterna kan passera Ä-kurvan mer än en 

 gång, ty derigenom skulle denna kurva, under parameterns h växande, komma att hafva 

 flere än m komplexa multipel-punkter. 



Antagom vidare, under i öfrigt samma förutsättningar som nyss, att ett par af Z-kur- 

 vans komplexa multipel-punkter äro ra'-faldiga, de öfriga m — 2ra'-f- 2 dubbla. De förra 

 äro, som bekant, (ra' — l)-faldiga rotpunkter till eqv. f'(z)=-Ö; vid passagen genom 

 desamma öfvergå 2 ni — 2 af denna eqvations deriverade komplexa rotpunkter från ne- 

 gativt till positivt fält. Ty i annat fall, äfvensora i händelse någon eller några af eqva- 

 tionens f'(z) = öfriga ra — 2m -\- 2 deriverade komplexa rotpunkter passerade i£-kur- 

 van mer än en gång, skulle denna kurva, under parameterns h växande, komma att 

 hafva flere än ra — 2m' -j- 4 komplexa multipel-punkter. 



På samma sätt bevisas satsen, om flere än två af i£-kurvans komplexa multipel- 

 punkter hafva högre ordnings-nummer än två. 



Tillämpningen af dessa satser är nu i korthet följande: Om man vid Ä-kurvans 

 konstruktion ej afser en noggrann bestämning af komplexa multipel-punkters lägen och 

 motsvarande värden på parametern, utan endast vill veta, huru många positiva fält 

 kurvan, för ett visst värde H på parametern, innesluter, eller, med andra ord, huru 

 många komplexa multipel-punkter den, för h — H, redan haft, så kan denna kunskap 

 vinnas genom att undersöka, huru mänga och hvilka af eqvationens f'(z) = deriverade 

 komplexa rotpunkter ligga i positivt fält. 



Som det alltså ofta blir för vårt ändamål af vigt att kunna åtminstone 

 approximativt beräkna eqvationers komplexa rötter, hafva vi i en Not vid slutet fram- 

 ställt en sådan metod, användbar i de händelser, då dessa rötters antal ej öfverstiger fyra. 



§ 29. 



Ex. 1. Att jinna den komplexa primär-kurvans till eqvationen 

 f{z) = z t -- 15/ -4- bz 1 -f hz + k = 

 former för olika värden pä parametern h. 

 Den andra deriverade eqvationen 



2z 3 — $z + 1 = 



K. Vet. Akad. Hand]. K. In. K:o 3. " 



