34 C. F. E. BJÖRLING, 



har tre reella rötter, nemligen 



G x = -\- 2,063415; 2 = -\- 0,111418; a 3 = -- 2,174834; 



följaktligen äro kurvans alla niultipel-punkter reella. 

 Emedan man har 



A(r) = - - 15r sin -£■ -f- hr sin -^ -\- h sin ?•> 



B(r) = — lör 2 sin -g- -j- 5r sin -g- -J- h sin -g- > 

 så erhålles genom derivering 



Ä(r) — - - 30r sin -^ -f- 5 sin -^, B'(r) = — 30r sin-*? -j- 5 sin -j?5 

 följaktligen blifva tangerings-punkterna 



<* = y== h 



I den förra är (-— I positiv, i den sednare negativ. 



Genom substitution erhålles 

 (ffi) = h -- 80,322; (a 2 ) = å + 0,5563; (o" 3 ) = h -- 122,73; (a) = h -J- 0,6741 ; (/) = A — 0,2575. 



På grund oeh med ledning; af nu funna värden kan den begärda konstruktionen 

 sålunda verkställas. 



Då h växer indehnit åt det negativa hållet, antager kurvan den nedre gränsfor- 

 men, ng. 11. 



Då h varierar i motsatt rigtning, Hytta sig kurvans intersektions-punkter med 

 strålarne B och C, hvilka punkters radii vectores äro reella rötter till eqv. B(r) = u, 

 uppenbarligen allt närmare origo, och kurvan har, intilldess h blir =--0,6741, det ut- 

 seende, ng. 12 visar. 



För h = - 0,6741 är («) = 0, således tangerar kurvan strålen A, och det på venstra 

 sidan, eftersom I — I här är positiv. Fig. 13. 



För h =--0,5563 är deremot (ff 2 ) — 0. En multipel-punkt bildas således på x- 

 axeln genom förening af de båda lateral-grenarne BC och B'C, hvilka under parame- 

 terns fortsatta tillväxt öfvergå till tvenne transversal-grenar BB' och CC. Fig. 14, 1">. 



Det fullständiga resultatet af den på samma sätt fortsatta diskussionen innehålles 

 i följande 



