52 C. F. E. BJÖRLING, 



Not. 



Approximativ beräkning af numeriska eqvationers komplexa rötter, då deras antal 



ej öfverstiger fyra. 



Låt den framställda eqvationen af n-.te graden cp(z) = O hafva 1 till koefficient för z" och noll för z"~ l . 



1) Eqvationen har två komplexa rötter. Yi beteckna dem med x + ui och sätta 



(1) x- + ir = R. 



Låt a betyda summan af eqvationens <f>(z) = reella rötter, p deras produkt, och a vara eqvationens 

 konstanta tenn. Då är, på grund af det kända sambandet mellan en algebraisk eqvations rötter och koefficienter, 



(2) 2x + o = 0, 



(3) pR = (— 1)" a, 

 ur hvilket system de obekanta med lätthet beräknas. 



2) Eqvationen har fyra komplexa rötter. Vi beteckna dess reella rötter med a, b, c, g; 



komplexa » » x ± ui, y ± vi. 



Vidare sätta vi 



(4) c = t + h, 

 samt bestämma h ur vilkors-eqvationen 



(5) a + b + c + + g = — Ah. 



Genom insättning af t + h i stället för z i cp(z) = erhålles 



(6) Cp(h) + tC f \h) + -£cp"(h)+ +*l=± cp (n-2) (h) + i!_i yin-DW + * ^n)^ = Q, 



eller, om vi skrifva termerna i motsatt ordning, 



(7) t" + nht"- 1 + Kt" " 2 + + Lt + M = 0, 



då nemligeu 



ti,{n— 2)(h) 



(8) K = ^^ L = cp'(h), M = <p(h). 



Denna eqvation (7) liar n — 4 reella rötter, nemligeu 



a — h, b — h, c — h, g — /;, 



hvilka vi beteckna med 



A, B, C, G, 



samt tvä par komplexa, nemligen 



x — h + ui, y — h + vi, 

 kortligen 



i i ui, i] + vi. 

 Afven sätta vi 



(9) i- + u 2 = R, rf + v' 2 = S. 

 Eftersom summan af alla rötterna till eqv. (7) skall vara = — nh, så är 



(10) A + B + C + + G + 2§ + 2 rj = — nh, 



eller, som är detsamma, 



(11) a + b + v + + g — (n — 4)ä + 2f + 2rj = — nh, 



Kvaraf erhålles, på grund af (5), 



(12) | + 7} = 0. 



Eftersom summan af de två-lediga produkterna af alla rötterna till eqv. (7) skall vara = A', så er- 

 hålles, om vi beteckna summan af de 



n — 4 reella rötterna till (7) med 0\, 

 två-lediga produkterna af samma rötter med o.,, 



