THEOKI FÖR ALGEBRAISKA EQVATIONERS RÖTTER. 53 



(13) R + S + 4:%r} + 2a 1 (i" + t]) + c 2 = K, 

 det är, på grund af (12), 



(14) R + S + 4|?; = K— 0" 2 . 



Eftersom produkten af alla rötterna till eqv. (7) skall vara = ( — 1)" M, så erhålles, om vi beteckna 

 produkten af de n — 4 reella rötterna med P, 



(15) PRS=(— 1YM, 

 eller 



(16) RS={— l) n §■ 



Eftersom summan af de (n — l)-lediga produkterna af alla rötterna till eqv. (7) skall vara = ( — 1)" — 1 L, 

 sa erhålles, om vi beteckna summan af de n — 4 reella rötternas inversa värden med 2, 



(17) PRS il + — ^ + t^—- + — r— ■ + —^-) = (— 1)" _1 £, 



v ' \ l -j- III I — Ut t\ -\- Vt ?) — VI J 



eller, på grund af (16), 



(is) %s + v r = i—ir- 1 • L+ 2 p Z - 



Ur eqvationerna (12), (14), (18) och (16), hvilka vi för korthets skull skrifva sålunda: 



(19) § + rj = 0, 



(20) R + S + 4 f rj = a, 



(21) I1S+ r,R = (i, 



(22) RS = y, 



kunna nu de fyra qvantiteterna i, r t , R och S beräknas på följande sätt. 

 På grund af (19) kunna (20) och (21) skrifvas 



(23) R + S = a + årf, 



(24) R — S = -> 



n 



hvaraf erhålles 



(25) Ä = l(" + 4r < 2 + f)' 



(26) £=|(« + 4/, 2 --^), 

 och häraf åter, genom insättning i (22), 



(27) (a + 4J? 2 ) 2 — £='4y, 



eller 



(28) 16 rf + 8 o rf + (a 2 — 4y) rf — [P = 0. 



Denna eqvation har uppenbarligen åtminstone en positiv jj 2 -rot. Den har ock blott en sådan. 

 Detta är sjelfklart i den händelse, att a är > 0. Ar deremot a <C 0, så behöfver man blott bevisa, 

 att a 2 är < 4 7. 



Och att så verkligen förhåller sig, inses lätt der af, att, på grund af (20) och (22), 



(29) a 2 — 4 y är = 16£V + 8i>;(£ + S) + (R — S) 2 , 

 att vidare detta sednare membrum blir genom uppdelning 



(30) (4|/; + R + S + 2YRS) (4 £17 + R + S — 2YRS), 



samt att af dessa båda faktorer den sednare uppenbarligen är negativ, den förra deremot positiv, alldenstund 



såväl — ö~~~> som oc ^ ' ^8 & r - > nuiu - va l £ r /- 



Betecknas då den positiva jj 2 - roten till (28) med r 2 , så äro § och ?y = hvarsin af de båda 



± r; 

 hvarefter R och S beräknas ur (25) oeh (26). 



K. Vet. Akad. Handl. B. 10. X:o 3. 



