KUNGL. SV. VIST. AKADEM1KNS HANDLINGAR. BAND 60. NIO |. 5 



der Flächenpunkte fiir beide Spiegel oline Approximierung als explizite Funktionen 

 eines Parameters darstellen. Dasselbe Problem hat Linnemann, 1 sogar unter Hin- 

 zufiigung der Bedingung der Achromasie, fiir brechende Flächen gelöst. Hierbei 

 lassen sich aber die Flächengleiehungen nicht so hinschreiben, sondern die betref- 

 fenden Differentialgleichungen miissen numerisch integriert werden. Im Anschluss 

 an diese Integration wird auch die numerische Methode angegeben, mit welcher ein 

 Strahl durch ein solches System verfolgt werden känn. 



Endlich sei noch erwähnt, dass sich das reger werdende Interesse fiir asphä- 

 rische Flächen darin kundgibt. dass Kerber 2 die Anwendung seiner neuen Durch- 

 rechnungsformeln fiir windschiefe Strahlen auf asphärische Flächen skizziert, und 

 Lange teils 3 die Durchrechnungsformeln fiir Strahlen, die in einer Meridianebene 

 verlaufen, teils 1 auch den Aberrationswert auf der Achse fiir Umdrehungsflächen 

 zweiten Grades herleitet. 



Aus dieser kurzen tibersicht geht hervor, dass die asphärischen Flächen, welche 

 bisher praktische Verwendung gefunden haben, teils Umdrehungsflächen zweiten Grades, 

 teils Abbe'sche Flächen sind, worunter ich Rotationsflächen verstehe, deren Meridian- 

 schnitte die oben angegebene Gleichung haben. Es wird dabei von den mathema- 

 tisch undefinierbaren, durch lokale Retouche empirisch hergestellten Flächen abge- 

 sehen. Theoretisch behandelt sind ausserdem spiegelnde Flächen, die durch gewisse 

 transzendente Gleichungen dargestellt werden, und gewisse Flächen, welche nur der 

 numerischen Integration von Differentialgleichungen zugänglich sind. In diesem Zu- 

 sammenhange soll auch unter den älteren Untersuchungen auf die HuYGENS'sche 

 Methode 5 hingewiesen werden, mit welcher eine Fläche punktweise konstruiert werden 

 känn, die ein gegebenes Strahlenbiindel durch Brechung homozentrisch macht. 



Was zunächst die letzterwähnten Kategorien betrifft, so leuchtet ohne weiteres 

 ein, dass die betreffenden Flächen ebenso gut mit der ABBE'schen Methode herstell- 

 bar sind wie die ABBE'schen öder jegliche anderen Flächen. Aber ebenso einleuch- 

 tend ist, dass dieselben viel umständlichere Rechnungen erfordern und deshalb bei 

 der praktischen Ausfiihrung am besten durch die letztgenannten öder durch andere 

 in dieser Beziehung gleichwertige Flächen zu ersetzen sind. Dies wird wohl auch 

 immer möglich sein. Denn erstens handelt es sich in der Wirklichkeit nicht um die 

 Vereinigung der Strahlen in einem mathematischen Punkt, da doch die Diffraktion 

 bewirkt, dass auch in den Fallen, wo eine solche Strahlenvereinigung theoretisch er- 

 reicht ist, ein endlich ausgedehnter Bezirk an Stelle des mathematischen Punktes 

 auftritt, und zweitens känn man durch Mitnehmen einer hinreichenden Anzahl von 



1 Martin Linnejiann, Uber nichtsphärische Objektive. Diss. Göttingen 1905. 



2 Arthur Kerber, Xeue Durchrechnungsformeln fiir windschiefe Strahlen. Zeitschrift fur Instrumenten- 

 kunde. Bd 33, S. 75, 1913. 



3 Max Lange, Durchrechnungsformeln fur die Lichtbrechung an Kegelschuitten. Ebenda. Bd 34, S. 

 273, 1914. 



4 Derselbe, Eutwicklung des ersten Gliedes der Aberration endlich geöffneter Lichtbiischel fur den Achsen- 

 objektpunkt einer lichtbrechenden Rotationsfläche deren Querschnitt ein Kegelschnitt ist. Ebenda. Bd 31. 

 S. 343, 1911. 



5 Christian Hutgens, Treatise on Light. Rendered into English by Silvanus P. Thompson. London 

 1912, S. 11(3 ff. 



