KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 60. NIO I. 13 



einandergesetzt werden soll, nur trigonometrische- Methoden erheischen. Eine Aus- 

 nahme hiervon machen allerdings die Fälle, \vo es gilt, den Schnittpunkt der asphä- 

 rischen Fläche mit einem gegebenen Strahle zu ermitteln, aber in diesen Fallen 

 ist man auch bei der Anwendung der ABBE'schen Gleiclmng auf numerische Metho- 

 den angewiesen. 



Der Nachteil, dass man bei der Durchrechnung des Systems die Maschinen- 

 kurve an SteDe der Meridiankurve anwenden muss, kommt nur dann in Wegfall, 

 wenn letztere Kurve eine kinematisch erzeugbare Parallelkurve öder Fusspunktknrve 

 besitzt und dabei selbst durch eine Gleichung direkt ausgedriickt werden känn. 

 Theoretisch ist dies mit allén Kurvem der Fall, deren Parallelkurven öder Fusspunkt- 

 kurven algebraische Kurven darstellen, da jede ebene algebraische Kurve durch ein 

 Gelenksystem erzeugt werden känn. Da aber die Maschine, je einfacher, desto exak- 

 ter ist, so können nur sehr wenige bekannte Kurven praktisch in Frage kommen, 

 und man känn nicht erwarten, dass auf diese Weise Kurven mit mehr als einem zur 

 freien Verfiigung stehenden Koeffizienten erzeugt Averden können. Dass aber solchen 

 Kurven eine wichtige Aufgabe beschieden ist, wurde schon hervorgehoben. Unter 

 ihnen stehen nun die Kurven zweiter Ordnung obenan, teils weil dieselben kinema- 

 tisch leicht erzeugbare Fusspunktkurven besitzen, teils auch wegen der Möglichkeit, 

 die Durchrechnung in allén Fallen unter Anwendung der elementarsten Mittel aus- 

 zufiihren. Zwar können, da die Maschinenkurve eine Fusspunktkurvc darstellt, nur 

 konvexe Flächen mit einer solchen direkten Methode erhalten werden, aber der Vor- 

 teil der einfacheren Rechnung ist so gross, dass die Umdrehungsflächen zweiten 

 Grades doch am meisten geeignet zu sein scheinen, den oben angegebenen Zweck zu 

 erfiillen, vorausgesetzt dass es gelingt, dieselben hinreichend genau und mit einer 

 numerischen Exzentrizität herzustellen, welche innerhalb hinreichend weiter Grenzen 

 bei beliebigem Scheitelkriimmungsradius frei vorgeschrieben werden känn. 



Bei der Lösung der anderen Aufgabe, nämlich asphärische Flächen zu erzeugen, 

 welche sich hinreichend genau einer vorgeschriebenen Fläche anschmiegen, ist Ge- 

 wicht darauf zu legen, dass die betreffenden Koeffizienten in der Gleichung der 

 Maschinenkurve, die der Kiirze halber Maschincnkonstanten genannt werden sollen, 

 mit möglichst einfachen mathematischen Mitteln berechnet werden können. Vor 

 allem muss sich also die Gleichung der Maschinenkurve zu einer Oskulation höherer 

 Ordnung im Scheitelpunkte eignen. Da es wunschenswert ist, dass eine möglichst 

 grosse Anzahl Maschinenkonstanten zu diesem Zwecke zur Verfiigung stehen, während 

 auf der anderen Seite die betreffenden Rechnungen fur mehr als drei Konstanten zu 

 kompliziert sind, soll die Aufgabe fixiert werden, womöglich eine vollständige Be= 

 riihrung achter Ordnung der geschliffenen Fläche mit der vorgeschriebenen, d. h. 

 eine neunpunktige Beriihrung der Meridiankurven der beiden Flächen im Scheitel= 

 punkte zu erhalten. Zu diesem Zwecke ist vor allem erforderlieh^ die betreffenden 

 allgemeingultigen Relationen zwisehen den Differentialquotienten einer Kurve und 

 denjeiiigeii einer Parallelkurve öder Fusspunktkurve tur einen Öcheitelpunkt zu er- 

 mitteln. Hat man die Maschinenkonstanten gefunden, durch welche eine solche zen- 

 trische Oskulation bestimmter Ordnung herbeigefiihrt wird, so empfiehlt es sich nicht 



