KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR BAND 60. NIO !. 21 



Die Duplexmethode. Da auf diese Weise nur konvexe Flächen geschlif- 

 fen werden können, so entsteht zunächst die Frage, ob auch konkave Flächen in 

 einer der Rechnung möglichst zugänglichen Gestalt mit einfachen mechanischen Mit- 

 teln herstellbar sind. In dieser Hinsicht wird der Gedanke auf die im Schubkurbel- 

 getriebe bzw. im Schleifkurbelgetriebe erzeugte Koppelkurve bzvv. Kreiskonchoide 

 gefiihrt. Erstere wird in der Fig. 4 von einem beliebigen Punkte der Umdrehungs- 

 achse der Linse, letztere in der Fig. 1 von einem beliebigen Punkte der Linie BC 

 öder ihrer Verlängerung beschrieben. Diese Kurven lassen somit, was die einfache 

 Herstellung betrifft, nichts zu wiinschen iibrig, und die Konchoide ist auch schon in 

 einem Patente 1 als Maschinenkurve angewendet vvorden. Beide Kurven sind zwar 

 nur von der vierten Ordnung, bieten aber dennoch in rechnerischer Hinsicht keine 

 Vorteile dar. In der ABBE'schen Kurve mit nur einem Koeffizienten ergibt sich der 

 Wert desselben unmittelbar aus der Forderung, dass eine Oskulation vierter Ord- 

 nung im Scheitel stattfinden soll, und es muss als wiinschenswert gelten, dass der 

 betreffende Wert der Maschinenkurve sich aus dieser Forderung auf ebenso einfache 

 Weise ergibt. Der mathematische Ausdruck fiir eine solche Bedingung wird auf 

 folgende Weise ersichtlich. 



Wenn allgemein p den Kriimmungsradius, o die Bogenlänge einer ebenen Kurve 

 darstellt, so habe ich 2 den Wert 



k d* 1 



d a 2 [j 



als den Abjlachungswert der Kurve im betreffenden Punkte bezeichnet. Im Scheitel- 

 punkte ist derselbe von den Differentialquotienten zweiter und vierter Ordnung ab- 

 hängig, und die Forderung einer zentrischen Oskulation vierter Ordnung mit einer 

 gegebenen Kurve ist mit der Aufgabe identisch, bei vorgeschriebenem Kriimmungs- 

 radius und Abflachungswert im Scheitel die Maschinenkurve zu ermitteln. Soll nun, 

 um diese Operation möglichst zu erleichtern, der betreffende Koeffizient in der 

 Gleichung der Maschinenkurve dem vorgeschriebenen Abflachungswerte direkt pro- 

 portional sein, so muss diese Gleichung in der Form vorliegen, dass die eine Koordi- 

 nate als Funktion der anderen dargestellt ist, und es muss im Scheitelpunkte der 

 Differentialquotient zweiter Ordnung verschwinden. Dies ist bei endlicher Scheitel- 

 kriimmung nur mit Polarkoordinaten möglich, indem der Radiusvektor als Funktion 

 des Winkels dargestellt und der Anfangspunkt in den Krummungsmittelpunkt des 

 Scheitels verlegt wird. Bei unendlich grossem Scheitelkriimmungsradius wird die 

 Bedingung durch die entsprechende Gleichung in Carfcesischen Koordinaten erfiillt. 

 Eine kurze t)berlegung lehrt, dass die fragliche Maschinenkurve nicht durch einen 

 einfachen ebenen Mechanismus erzeugt werden känn. Da aber diese Mechanismen 

 die einfachsten Rechnungen erf ordern, so scheint die Aneinanderfugung von solchen 

 die in rechnerischer Hinsicht vorteilhafteste Lösung zu sein. In der Polargleichung 



1 D. R. P. X:o 214107 von G. Ossart uud A. Vebgé. Deutsche Mechaniker Zeitung, 1910, S. 91. 



2 Allgemeine Theorie der monocliromatischen Aberrationen und ilire nächsten Ergebnisse fur die Ophthal- 

 mologie. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Bd 20, 1900. 



