22 A. OULLSTRAND, UI5ER ASPHÄR1SCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



R = F{$) der Maschinenkurve känn man zu diesem Zvvecke beispielsweise die Ver- 

 längerung des Radiusvektors durch eine Schubkurbel von einem Drehungswinkel a 

 abhängig machen, um auf dieselbe Weise die einer trigonometriscben Funktion dieses 

 Winkels entsprechende Verschiebung durch eine Schubkurbel aus dem Anomalien- 

 winkel p zwangläufig entstehen zu lassen. Die Gleichung nimmt dann die Form 



an, wo i? den Scheitelkriimmungsradius darstellt und C, c Maschinenkonstanten sind. 

 Die Funktionen cp (a) und <s(p) können durch Schubkurbeln erzeugt werden, wobei in 

 der dem Scheitelpunkte entsprechenden Lage die mathematischen Achsen des Kurbel- 

 arms und der Koppel mit der Richtung der Geradiuhrung zusammenfallen miissen. 

 Die beiden Winkel werden von dieser Lage aus gerechnet und stellen somit die 

 Drehungswinkel der beiden Kurbelarme dar. Der Wert des Radiusvektors der Ma- 

 schinenkurve ist folglich nur von der absoluten Grösse, nicht aber vom Vorzeichen 

 des Winkels a abhängig, und wenn man beispielsweise /(a) gleich sin a macht, so 

 bleibt auch der Wert von a bei einem Vorzeichenwechsel von p unverändert. Fiir 



dR do. 

 3=0 ist dann -j— = t^ = 0, und man erhält durch viermalige Differentiation 

 da dft & 



d^ ~ dy ~ dv*\d[i-) ' 



woraus folgt, dass der Abflachungswert im Scheitelpunkte der Maschinenkurve der 

 Konstante C direkt proportional ist. 



Dieser Vorteil fordert auf, näher zu untersuchen, ob sich solche Kurven iiber- 

 haupt auch dazu eignen, den eingangs gestellten Anspruchen an Kurven mit meh- 

 reren zur Verfiigung stehenden Konstanten zu geniigen. Da dies in der Tat der Fall 

 ist, so habe ich Kurven dieser Art unter der gemeinsamen Bezeichnung Duplexkurvcn 

 als Maschinenkurven gewählt. Die Untersuchung hat aber gelehrt, dass ähnliche 

 Kurven in gewissen Fallen auch dann mit Vorteil angewendet werden können, wenn 

 der Differentialquotient zweiter Ordnung der Kurvengleichung nicht im Scheitel- 

 punkte verschwindet. Ich unterscheide deshalb zwei Kategorien, je nachdem dies 

 der Fall ist öder nicht, und bezeichne die durch obenstehende Gleichung dargestellte 

 K ur ve als eine eigentliche Duplexkurve, wenn folgende Bedingungen erfullt sind. Die 

 Funktion o(p) muss bei p=0 auch den Wert Null haben, im Ubrigen bei einem Vor- 

 zeichenwechsel von p unverändert bleiben. Gleichzeitig mit /(a) muss n. durch den 

 Wert Null gehen, indem der Differentialquotient f(a) von Null verschieden sein muss. 

 Von der Funktion 9 (a) wird nur gefordert, dass dieselbe samt dem Differential- 

 quotienten erster Ordnung bei a = verschwindet. Fiir den Fall einer afokalen 

 asphärischen Fläche erhält R einen unendlich grossen Wert, wobei die Gleichung in 

 der Form 



y = C.<p(a) /(a) = c.cp(a;) 



