38 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄR1SCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



miter Beachtung dass, wenn p allgemein den Kriimmungsradius darstellt, laut den 

 gegebenen Definitionen 



dy — p cos zdz dx = p sin z dz 

 ist, den Wert 



N — M cos z = sin tp i p cos zdz — cos z I p sin 'f dz 



fur die Exzenterverschiebung. Die Gleichung einer Kreisevol vente von der Ord- 

 nung m sei 



p = > a„ 



wo also ö den Kriimmungsradius der Kurve im Punkte ? = 0, irii iibrigen aber a„ 

 den demselben Punkte entsprechenden Kriimmungsgradius der w-ten sukzessiven 

 Evolute darstellt, und wo die symbolische Bezeichnung 0! gleicli der Einheit ist. 

 Man hat somit 



I p cos zdz = ^ " I ? n COS "P^? 



n-0 ' J 



nebst dem analogen Ausdruck fiir das andere Integral. Die bekannte Reduktions- 

 formel 



r r 



i z n cos zdz = z" sin z + nz u ~ l cos z — n(n — 1) I z n ~ 2 cos 9 dep 

 ergibt teils fiir gerade n 



j cc» z b z n - i \ 



wo die oberen bzw. unteren Vorzeichen anzuwenden sind, je nachdem n ohne Rest 

 mit 4 teilbar ist öder nicht, teils auch fiir ungerade n 



a. i' i z^ z :> z" \ 



- j^cos^(^=±a n sin ? ^- 3! + ^ ± ;--,) ± 



±a„cos' f (l-- + ---±- zri)! ), 



wo die oberen bzw. unteren Vorzeichen anzuwenden sind, je nachdem n bei der 

 Teilung mit 4 den Rest 1 öder 3 gibt. Definiert man nun durch die Gleichungen 



