48 A. GUIXSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



den Koordinaten £•/) sei auf ein Koordinatensystem bezogen, dessen Y-Achse mit der 

 Symmetrieachse der Kurve zusammenfällt und in der Richtung vom Scheitel zum 

 Scheitelkriimmungsmittelpunkte positiv gerechnet wird, während die JT-Achse die 

 Scheiteltangente darstellt. Die aus derselben ermittelten Differentialquotienten seien 

 mit •/j'rj"r/"r i TV . . . bezeichnet. Durch die Substitutionen 



'(] = r o — ? cos Ö % = r sin 6 , 



wo r den Wert des Scheitelkriimmungsradius hat, und durch nachherige sukzessive 

 Differentiationen können nun zwar die dem Scheitelpunkte entsprechenden Differen- 

 tialquotienten r IV . . . ermittelt werden, es empfiehlt sich aber, diese Substitutions- 

 rechnung sozusagen ein fiir alle mal zu machen, indem die Formeln abgeleitet wer- 

 den, mittels welcher die Differentialquotienten / IV . . . direkt aus den Werten von 

 r/'r/ v ... im Scheitelpunkte erhalten werden. Zu diesem Zwecke sind die Substitu- 

 tionsgleichungen zu differenzieren, indem eine der Variabeln 6 öder £ als unabhängig 

 angesehen wird. Der bequemeren Rechnung wegen soll 6 als unabhängige Variable 

 behandelt werden. Da die F-Achse eine Symmetrieachse der Kurve darstellt, so 



d n ~q 

 sind sämtliche Differentialquotienten -7%„ im Scheitelpunkte gleich Null, wenn n eine 



ungerade Zahl darstellt, und die sukzessiven Differentiationen der ersten Gleichung 



ergeben, dass dies unter derselben Bedingung auch mit den Differentialquotienten 



d n v 



vt^ der Fall ist. In Ubereinstimmung hiermit verschwinden die Differentialquoti- 



d n i 

 enten -r ftn fiir gerade n, was auch bei den sukzessiven Differentiationen der zweiten 



Gleichung ersichtlich wird. Die Differentialgleichungen ungerader Ordnung ver- 

 schwinden somit fiir die erste Substitutionsgleichung, diejenigen gerader Ordnung 

 fiir die zweite. Die auf der ersten Stufe erhaltenen Gleichungen fiir 6 = 



d 2 t; = — d 2 r — r a d 2 cos G di = r d sin 6 



ergeben 



■q"rl^-r" +r , 



woraus, da r gleich dem Kriimmungsradius, r" gleich dem reziproken Werte des- 

 selben ist, folgt r"=0. Bei den weiteren Differentiationen der zweiten Gleichung 

 erhält man, wenn nach der Differentation 6 = gesetzt wird, 



d 3 c, = r rf 3 sin d 5 £ = r d b sin 6 + 5d l rd sin 6 



&£ = r d! sin 8 + 35d 4 rd 3 sin 6 + ld a rd sin 8 



und hat somit 



di = r dH d s £,= -r dW 



d-'t, = (r + 5f IW )d¥> dH «- (— r„ — 35r IV + 7r v, )d6\ 



