50 A. GULLSTRAND, UBEB ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



Normale bestimmten Kurvenpunkte, so erhält man durch Projektion derselben teils 

 auf die Normale, teils auf die Tangente die beiden Gleichungen 



R cos (p — r p) = r cos (6 — <p) + a R sin (p — <p) = r sin (6 — tp) 



und hat ausserdem die bekannten Beziehungen 



R! cos (p — <p) = R sin (p — <p ) r' cos (6 — 'p) = r sin (Q — cp ) . 



Diese Gleichungen sollen nun differenziert werden, indem p als unabhängige 

 Variable behandelt wird. Die erste Differentiation der zweiten und der vierten 

 Gleichung ergibt dQ = d<p = rfp, wonach durch zwei Differentiationen der ersten Glei- 

 chung R" = erhalten wird. Die zweite Gleichung ist jetzt nicht mehr nötig. Wegen 

 der Symmetrie verschwinden die Ableitungen ungerader Ordnung der ersten und 

 diejenigen gerader Ordnung der beiden letzten Gleichungen. Sukzessive Differentia- 

 tionen der letzten Gleichung ergeben 



d 3 r' = r d 3 sin (Q — tp) = r (d 3 d — d 3 f) 

 d b r' = r () d 5 sin (Ö — <p) = r (d :, 8 — d b <p), 

 wo 



d 3 r' = r™dK 3 d r 'r' = r v W + 10r™dVd s b 



ist, so dass 



resultiert. Durch dieselbe Behandlung der dritten Gleichung erhält man 



J?1V PVI 



<2 3 <P = - ^- dp s d 5 <p = — ~ dp s , 



-"0 -*^o 



womit, da nunmehr cZ6 gegen eZp vertauscht werden känn, sämtliche in der weiteren 

 Rechnung nötigen Ableitungen von 6 und <p nach p bekannt sind. Die sukzessiven 

 Ableitungen der ersten Gleichung sind 



d i R = d i r 



d G R + R d 6 cos (p — cp) = d 6 r + r d 6 cos (6 — tp) 

 d»R+ Ä tZ 8 cos (p — <p)=d*r + r d* cos (6 — tp), 

 wo 



d c cos (p — ? ) = — 10 (d 3 ©) 2 d° cos (0 — tp) = — 10 (rf s Ö — d 3 ? )- 



d* cos (p — tp) = — 56d 3 <pd r, 'f rf 8 cos (6 — <p) = — 56 (d 3 Ö — d 3 'p) (d 6 6 — d 6 y) 

 und 



