60 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



's (p) = 1 — cos p — 7(1 — cos y) sin y = k sin p 



sein muss, hat man in den oben S. 33 deduzierten Formeln e = |&| und k, = k zu 

 setzen, woraus 



p ~ k r °~i + k 



erhalten vvird. Da a, = cEQ und a" = c(l — k) ist, so können diese Ausdriicke auch in 



der Form 



p a"(l + k) r„ a" 



#, k E 



geschrieben werden. Es folgt hieraus, dass p bei > k > — 1 das entgegengesetzte 

 Vorzeichen gegen a" hat, so dass der Exzenter bei positivem Werte von a" nach 

 unten wirken muss, sonst aber nach oben wirken känn, und dass bei positivem a." 

 die Exzenterachse unterhalb öder oberhalb des Scheitels der Kurve gelegen sein muss, 

 je nachdem k einen positiven öder negativen Wert hat. Da aber, wie aus dem 

 Obenstehenden hervorgeht, k, in den Fallen, wo diese Konstante nicht gleich Null 

 gemacht werden känn, keinen negativen Wert zu haben braueht, so känn stets ein 

 nach oben wirkender Exzenter angewendet werden, dessen Achse unterhalb des Kur- 

 venscheitels gelegen ist. Ob man die Kurve zweiter Ordnung öder eine Parallel- 

 kurve derselben beniitzen will, känn aus technischen Riicksichten entschieden wer- 

 den. Die in den Formeln vorkommenden Grössen p und r beziehen sich aber 

 stets auf die konische Sektion selbst. 



Zu den sukzessiven Differentationen eignet sich am besten folgende Form der 

 Gleichung. Man setzt 



l = a <p (p) a ~ [j — r k= , 



wobei somit a den Abstand des Scheitelkrummungsmittelpunktes von der Exzenter- 

 achse darstellt und positiv gerechnet wird, wenn ersterer unterhalb der letzteren 

 gelegen ist. Es resultiert 



(1 - e 2 )? (p) = |l + e2(1 ~ ^ } ) (1 — cos p) — l -{\—u) v* = 1 — e 2 sin 2 p, 



wo e 2 auch einen negativen Wert haben känn. In den Werten der Differentialquo- 



d n 9($) , , . , 411 . , ^ w cosp d n u , . 



tienten ~5yn~ kommen keine anderen Ableitungen vor als , Rn — und -r^. wobei 



diejenigen ungerader Ordnung wegen der Symmetrie verschwinden. Die zweite 

 Gleichung ergibt 



d*u = — e 2 (d sin p) 2 fru + 3 (d 2 u) 2 =—4e 2 d sin [id 3 sin p 



d 6 u+ I5d i ud i u = — e 2 {6dsin %d'-> sin p + 10 (rf 3 sin p) 2 }, 



