70 A. GULLSTRAN1), UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



Werte zu ermitteln. Stellt diese eine Parallelkurve dar, und ist die Gleichung der 

 Meridiankurve der Fläche in Cartesischen Koordinaten gegeben, wobei die .X-Achse 

 mit der Symmetrieachse, die T-Achse mit der Scheiteltangente zusammenfallen soll, 

 so sind die Grössen <p N M durch die oben S. 30 angegebenen, dieselben definie- 

 renden Gleichungen 



tg 9 = -r N = -^— M = x + N cos z 



T dy sm 9 



zu ermitteln. Fur den Krummungsradius p hat man 



1 , d 2 x 



— = COS 3 © -r- 5 ' 



P ' dy- 



Wenn auf der anderen Seite die Gleichung der Meridiankurve der Fläche in Polar- 

 koordinaten vorliegt, wobei das Koordinatensystem durch die Beziehungen 



x = r — r cos y = r sin 6 



zu dem oben definierten rechtwinkligen Koordinatensystem bestimmt sein soll, so 

 erhält man fiir die Kurvengleichung r = /(Ö) dieselben Grössen aus den Gleichungen 



r' 

 tg (0 — z) = — N sin cp = r sin 



(M - r ) sin z = r sin (6 - ©) - = Q °^fTJL> (,.2 + 2r '* - rr") . 



Die entsprechenden Werte iV a M a p a der im Abstande a gelegenen Parallel- 

 kurve sind N + a usw. Aus denselben erhält man die Koordinaten Rfi und die Dif- 

 ferentialquotienten B! R" der Gleichung i? = /([3) der Maschinenkurve durch die oben- 

 stehenden Beziehungen, indem mit der Gleichung 



tg p - Na sin * 



N£ COS B — M a + R a 



angefangen wird. Soll die Maschinenkurve in Cartesischen Koordinaten dargestellt 

 werden, so ergeben sich durch die oben zuerst angefiihrten Beziehungen die Koordi- 

 naten und Differentialquotienten im entsprechenden Punkte derselben. 



Wenn eine Fusspunktkurve i? = /(p) als Maschinenkurve angewendet werden soll, 

 hat man P = ® und erhält RR'R" aus den Gleichungen 



R = N — (M — B ) cos f B! = (M — R ) sin z Ii" = p — R, 



von welchen die erste durch Projektion des Radiusvektors auf die Normale erhalten 

 wird, vvährend die beiden anderen am einfachsten aus den fiir eine Parallelkurve 

 geltenden abgeleitet werden. Da die Fusspunktkurve eine Konchoide mit der un- 



