80 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



ist, und bei q + 1 < hat man hier nur fur cos 7 sin 7 e die Hyperbelfunktionen 

 (£08 y ®> n V bzw. ]/ — (gi-1) einzusetzen. Es ergibt sich zunächst 



cot Va p 



F' E" 



^ 

 £ 



ÄJ" ~" = + cos 3 



F \F" E' ) 



i_t g »p = - 



COS 2 [j 



Die Funktionen C/, V, haben bei q + 1 > die Werte, vvelche oben fiir U V beim 

 Sinusmechanismus erraittelt wurden, und in welchen w = gesetzt wird: 



U, = 1 4- 



1 



cos 7 



V,= 



U,(U,-1) _ 1 

 l + cos 7 cos 2 7 



Bei g + 1 < ergibt die Differentiation der Hyperbelfunktionen dieselben Werte. in- 

 dem nur cos 7 durcli £o3 7 zu ersetzen ist. Es resultiert 



m tg ["i (w — cot P) 



m 



cot Vt 



= r 



u \n. cos. 



cos 3/ 



vvo u = cos 7 bzw. it = @oö 7, je nachdem u § 1 ist. 



Dass m einen positiven Wert haben muss, geht aus der Deduktion S. 32 her- 

 vor. Es wurden nämlich sonst N und p verschiedene Vorzeichen haben, was bei der 

 Hyperbel dem t)bergang vom einen Zweige auf den anderen, bei der Ellipse einem 



Winkel 3>« entsprechen wiirde. Im Falle 7 = ist c, = 0, und die Grundkurve stellt, 



wenn die Bedingungen w = cot Va 3 und w = cot3 erfiillt sind, einen Kreis dar. Ist 

 dies nicht der Fall, so erhält k einen unendlich grossen Wert, und die unendlich ent- 

 fernte Parallelkurve der Grundkurve des Zylinders ist eine konische Sektion. Da 

 solche Zylinder mit der beschriebenen Maschine nicht geschliffen werden können, so 

 ist dieser Fall, obwohl nicht mathematisch, doch technisch ausgeschlossen. Da somit 

 u * 1 sein muss, so resultieren die Bedingungen 



r> 



cos p 



IV 2 tgp cot '/ s p, 



von welchen letztere nur dann einen Sinn hat, wenn der durch m und n erhaltene 





 Wert von Y nicht die Form 7. annimmt, und welche in dieser Fassung notwendig 



und hinreichend sind. 



Fiir die exzentrische Oskulation erster Ordnung hat man nur die Gleichung 



tg 3 [mB — sin 3) _ TJ 

 B - sin p tgVTp ' 



