82 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN 



und wird die Untersuchung auf die mathematische Möglichkeit beschränkt, somit 

 nur U > 1 gefordert, so hat man 



r 9)agp(^ -cot p) „ = aft» tg p tg y, p 



Sm — cot Vä P " 1 + cos a ' 



und die mathematische Bedingung besagt, dass, wenn 9Ji<cotV2p ist, entweder T, 



1 



öder r«, grösser als sein muss. 



° cos p 



Fiir den Tangentenmechanismus gilt 



m 3 30? cos a 2 

 1 + cos a £7 



und somit 



3 9M cos a 

 vjc tg p |yc — cot p - 



an i. n len. l o 3 5ÖZ COS 7. 2 \ 



3tt tg p 91 — cot p — — + = 



n \ ' 1 + cos a Ul 



m—u cot v^ p 



Da hier U beliebig kleine positive Werte annehmen känn, und da sich T, wenn U 



2 tg p 

 nach Null hin abnimmt, dem Werte — jj- nähert, so ist die Oskulation zweiter 



Ordnung im allgemeinen Falle stets möglich. Der Sönderfall S0? = erfordert aller- 



R" 



dings, dass das Produkt WlSfl und somit auch r=- einen endlichen negativen Wert 



hat, was iibrigens auch fiir den Sinusmechanismus gilt, aber in der dort formulierten 

 Bedingung enthalten ist. In diesem Sonderfalle geht die Normale der Maschinen- 

 kurve durch den Scheitelkriimmungsmittelpunkt, was eine Spitze an der Evolute 

 voraussetzt, und die Bedingung besagt, dass der Radiusvektor ein Maximum bzw. 

 ein Minimum hat, je nachdem derselbe grösser öder kleiner als der Scheitelkriim- 

 mimgsradius ist. Ein anderes Verhalten wiirde angeben, dass ein zweiter Punkt 

 R' = zwischen dem gegebenen Punkte und dem Scheitel vorhanden wäre bzw. bei 

 E' = R" = mit ersterem Punkte zusammenfiele, welche komplizierte Singularität 

 somit, vom Palle K=0 abgesehen, einzig ausgeschlossen ist. 



Nachdem auf diese Weise durch passende Wahl von U und a ein technisch 

 anwendbarer Wert von Y erhalten worden ist, ergibt sich ein positiver Wert fiir u 

 aus der quadratischen Gleichung 



\?( / \u cosp/ 



wonach die iibrigen Maschinenkonstanten und die den Zylinder bestimmenden Grössen 

 auf dieselbe Weise wie oben bei der Oskulation erster Ordnung erhalten werden. 

 Eine Schwierigkeit entsteht nur, wenn sich e 2 = l ergibt, wobei die Grundkurve des 



