106 A. OULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



so ergibt obenstehende Gleichung die Beziehung dieses Radius zu den Abständen 

 ss', und man erhält 



r, 1 1 



q" = • 



sr 



Bei den folgenden Differentiationen ergeben sich fur v > 1 die Gleiclmngen 



s{d^'q + d? v x) = (X llv — Q llv )dy 2v , 

 \vo 



X lv = 3a;" s Z VI = 15cc lv a;" 



X vm =28aW + 35z lva 



usw. ist, indem die Binomialquotienten der paaren Glieder unverändert, der un- 

 paaren aber nach Division in 2 zur Verwendnng kommen, und die Grössen Q Uv auf 

 dieselbe Weise gebildet werden. Diese Gleiclmngen werden auf dieselbe Weise wie 



1% 



oben behandelt, also zunächst mit - multipliziert und von den ähnlichen, fiir das 



s 



Bildmedium geltenden subtrahiert. Die so erhaltene Gleichung ergibt zusammen mit 

 der Gleichung Ang llv = die Differentialquotienten x Ilv und q Ilv , durch welche auch 

 die Werte X U{V+1) und Q lliv+l) bekannt sind. Auf diese erhält man ohne weiteres die 

 Differentialquotienten beliebiger Ordnung der Kurvengleichung %<=f{y), indem nur 

 die Kenntnis der betreffenden Binomialquotienten erforderlich ist. 



Eine empfehlenswerte nachherige kleine Umformung der Werte wird am besten 

 durch das Beispiel v = 2 iltnstriert. Die Gleichung 



.s( 9 lv + x lv ) = 3 (x' n — q" 2 ) 



ergibt zunächst 



s s 



erhält aber durch die Substitution k- = x" und unter Beachtung, dass n a q" 2 eine 



o 



optische Invariante ist, die Form 



wonach 



!\n ns 



„iv == _ a; iv + ll^ ( l J 



* s 



erhalten wird. Auf dieselbe Weise ergibt sich weiter 



vi ,* iv ni ir>nW v ! 



.r vl — 15ic lv a; 2 = t^— A 



An ns 



