108 A. G ULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



mit einer Reihe einen hinreichend genauen Wert erhalten. Die urspriingliche Glei- 

 chung känn als eine quadratische Gleichung in sin a = x in der Form 



, jcHgw cotoj, ... 

 x = K + —^~ + — 2 — (* - //)- 



geschrieben werden. Die drei ersten Differentiationen ergeben 



dx = dh 

 d 2 x = tgwcZa; 8 

 d 3 x = 3 tgtodxd*x, 



und von der vierten Differentiation an erhält man unter Beriicksichtigung, dass 



cotco 



ist, 



tu co -f cot to == 



cos- oj 



d i x = 4 tg co dxd 3 x -1 5 — (d 2 x) 2 



n cos 2 oj 



7r ^ x 7 JA 10 COt OJ „ „ 



d°x = 5 te co dxd i x -f 5 — d l xd*x 



cos 2 oj 



ci ö z = 6tgcociz#z + ^^[15ci 2 a;ci 1 a; + 10(#x) 2 ] 



° COS 2 OJ 



usw., indem man nur die Binomialkoeffizienten auf schon angegebene Weise anzu- 

 wenden hat. Unter Beriicksichtigung der Glieder bis einschliesslich der sechsten 

 Ordnung findet man die Reihe 



t n=5 j 3 7 f 



sin a = Ä + % y, h« tg" oj + — -^— (/t tg oj + 3 h* tg 2 co f 6 ¥ tg 3 co) + 1M2. . 

 2 ** 8 cos 2 oj = e cos 4 co 



Beim Tangentenmechanismus vvird die Gleichung 



tg(a + co) — tgco = /i, 



indem die Tangente der Winkelsumme durch die Tangenten der beiden Winkel ausge- 

 driickt wird, auf die Form 



h cos 2 co 



lg« = i — : 



1 + h sin co cos co 



gebracht, vvelche die Berechnung von a mit beliebiger Genauigkeit gestattet. 



Die zur Berechnung der Maschinenkonstanten C k, dienenden Gleichungen 



