118 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCHEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



Weise ergeben sich folgende Regeln, welche es ermöglichen, die Rechnung einem 

 vollkommen unkundigen Rechner zu iiberlassen — eine beim praktischen Rechnen sehr 

 wichtige Forderung. Damit der Strahl die Fläche schneide, muss C' 2 >0 und entwe- 

 der B < öder aber p A > bei B > sein. Das Vorzeichen von C soll das entgegen- 

 gesetze gegen dasjenige von p sein. Letztere Regel erleidet allerdings eine Aus- 

 nahme in den beispielsweise bei der Dunkelfeldbeleuchtung denkbaren Fallen, wo 

 unter zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen die numerisch grössere zu wählen ist. 

 Um endlich den Schnittpunkt einer Umdrehungsfläche zweiten Grades mit einem 

 der Achse nicht schneidenden Strahle zu erhalten, biidet man die Gleichung der Fläche 

 im dreiachsigen Koordinatensystem, dessen Z-Achse die schon angewendete X Y- 

 Ebene senkrecht schneidet, indem man in der Gleichung der konischen Sektion if 

 durch y 2 + z 2 ersetzt. Welche Bestimmungsstiicke nun auch fur den Strahl ange- 

 wendet werden, ist es immer leicht, zwei Gleichungen y = A r j z = X 2 zu bilden, wo 

 die rechte Seite nur x enthält. Werden diese Gleichungen quadriert und summiert, 

 so erhält man eine quadratische Gleichung in x, welche nach ähnlichem Schema wie 

 oben zu behandeln ist. 



Bei der Rechnung mit Duplexflächen sollen die Grössen xyMNypp, stets nur 

 fur die Meridiankurve der Fläche selbst angewendet werden, während die Maschinen- 

 kurve, wie oben, durch die betreffende Gleichung R=f($) bezeichnet wird. Da ein 

 Durchgehen von R' durch die Unendlichkeit ausgeschlossen ist, so wird ein Punkt 

 der Meridiankurve der Fläche eindeutig durch den Wert von p bestimmt. Dieser 

 Winkel ist in derselben Richtung wie ? positiv zu rechnen und muss auch gleich- 

 zeitig mit letzterem Winkel durch Null gehen. Beim Schleifen konkaver Fläcken, 

 deren Kriimmungsradien nach der Peripherie hin zunehmen, känn bei grosser Öff- 



nung ein Wert |P|>ö auch bei mässigem Werte von o erforderlich sein und unter 



gewissen Bedingungen auch technisch realisiert werden. Vorzeichen und Grössen von 

 R werden beim Schleifen mit einer Parallelkurve bzw. mit der Fnsspunktkurve durch 

 die Beziehung i? =p(l + o) bzw. i? ^=P angegeben. Schon um sich eine ungefähre 

 Vorstellung von der Gestalt der Duplexfläche zu verschaffen, empfiehlt es sich, eine 

 Anzahl Punktkoordinaten zu berechnen, wobei man von frei gewählten Werten von 

 p ausgeht und, um eine etwa später vorkommende Interpolation zu erleichtern, am 

 besten gleiche Intervalle zu grunde legt. Zur Ermittelung der Punktkoordinate ist 

 es nur nötig, den Radiusvektor und die erste Ableitung zu kennen. Die Gleichungen 



/(a) = c9(P) /'(*)a' = c<p f (p) 



ergeben die dem jeweiligen Werte von p entsprechenden Werte von a und a', welche 

 in die Gleichungen 



R — R n = It C<p (a) R' - R, G 9' (a) a' 



