KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 60. NIO |. 125 



quadratische Interpolation anzuwenden. Man känn nun in der Fortsetzung entweder 

 auf dieselbe Weise linear interpolieren öder aber die NEWTONsche Methode anwen- 

 den. Im letzteren Falle muss man ausser den zur Ermittelung der Koordinaten xy 

 nötigen Grössen MNy auch noch den Krummungradius p, berechnen. Die beziig- 

 lichen Differentialquotienten erhält man, wenn die Maschinenkurve eine Parallelkurve 

 der Meridiankur ve der asphärischen Fläche darstellt, aus den leicht herzuleitenden 

 Bezieh ungen 



Rd$ = (p, + p o) cos (p — (p) d f 



d x = p, sin z d tp dy = p, cos zdz, 



während, wenn die Maschinenkurve die Fusspunktkurve darstellt, d$ = dy ist. Wenn 

 die den ersten Annäherungswert bestimmenden Grössen durch p x y bezeichnet 

 werden, so erhält man die in den Differenzen x — x bzw. y — y vorkommenden Werte 

 von x bzw. y durch eine Elimination aus den Gleichungen. des Strahles und der 

 Tangente. Dies ist damit gleichbedeutend, dass der Wert 



_ , g — % dx 

 x-x + E ■ d , 



und der auf dieselbe Weise gebildete Wert von y in die Gleichung des Strahles ein- 

 gesetzt werden. Je besser der angewendete Annäherungswert ist, um so genauer 

 fällt diese Operation mit der linearen Interpolation zusammen. 



Auch der Schnittpunkt einer Duplex fläche mit einem die Achse nicht schneidenden 

 Strahle wird auf ähnliche Weise ermittelt. Sind die Gleichungen des Strahles auf 

 die Form y = X t z = X 2 gebracht worden, wo die rechte Seite nur x enthält, so ent- 

 steht durch Quadrieren und Summieren dieser Gleichungen die Gleichung eines ein- 

 schaligen Rotationshyperboloides, dessen Schnittlinie mit der asphärischen Fläche 

 einen Kreis darstellt, welcher den gesuchten Schnittpunkt enthalten muss. Es folgt 

 hieraus, dass die X-Koordinate dieses Schnittpunktes dieselbe ist wie die Abszisse 

 des Schnittpunktes der in der X Y-Ebene enthaltenen Meridiankurve mit der Hy- 

 perbel 



y* = Xl+Xl, 



die somit in dieser Rechnung an die Stelle des Strahles in der vorigen tritt. Die 

 nächste Folge hiervon ist, dass die Methode der quadratischen Interpolation zu einer 

 Gleichung vierten Grades in (3 fiihrt. Ob man dieselbe lösen will öder eine wieder- 

 holte lineare Interpolation vorzieht, diirfte, wenn die Maschinenkurve eine Parallel- 

 kurve darstellt, am besten von der Ubung des Rechners abhängig gemacht werden. 

 Stellt aber die Maschinenkurve die Fusspunktkurve dar, so ist es auf alle Fälle vor- 



