134 A. GULLSTRAND, UBER ASPHÄRISCHE FLÄCKEN IN OPTISCHEN INSTRUMENTEN. 



Zu den Rechnungen wurden siebenstellige Logarithmen angewendet, bis an 

 einer gewissen Stelle ein Wert erhalten wurde, dessen Genauigkeit nicht grösser war, 

 als dass in der Fortsetzung nichts mit einer höheren Stellenzahl als fiinf zu gewinnen 

 war. Die fur die Lateralaberration der beiden Strahlen mit kleinster Neigung er- 

 haltenen Werte waren zwar positiv, aber so klein, dass mit Hinsicht auf die ange- 

 wendete Stellenzahl das Vorzeichen unsicher war, und sind deshalb in der Tabelle 

 mit bezeichnet worden. 



Wie aus der Tabelle hervorgeht, ist die Lateralaberration iiberall so gering, 

 dass eine noch bessere Korrektion, obwohl wahrscheinlich mathematisch möglich, 

 sicherlich physikalisch unmerkbar wäre. Durch den Vorzeichenwechsel der Lateral- 

 aberration wird konstatiert, dass ausser dem im Oskulationspunkte gebrochenen 

 Strahle noch ein Strahl durch den achsialen Fokalpunkt geht, was nur möglich ist, 

 wenn an der Evolute der Meridiankurve der Wellenfläche des gebrochenen Strahlen- 

 biindels zwischen dem Beriihr ungspunkte mit dem erstgenannten Strahle und dem 

 achsialen Fokalpunkte drei Spitzen vorhanden sind. Da ferner c 2 c > e 2 ist, so muss 

 einem unendlich kleinen negativen Wert von y ein ebenfalls unendlich kleiner nega- 

 tiver Wert von t\ entsprechen, öder mit anderen Worten: die achsiale Evolutenspitze 

 ist in drei Spitzen zerfallen, so dass die Evolute insgesamt nicht weniger als neun 

 Spitzen hat. 



Um den Grad der Ähnlichkeit der Duplexfläche mit dem Hyperboloide zu 

 demonstrieren, habe ich umstehende Tabelle berechnet. Der jedem Werte von [3 zu- 

 gehörige Wert der Abszisse wurde in die Gleichung des Hyperboloides eingesetzt, 

 wonach die dem Hyperboloide zugehörigen entsprechenden Werte von y <p N M p, be- 

 rechnet wurden. In der Tabelle sind diese Werte mit H bezeichnet, während D die 

 der Duplexfläche bei gleicher Abszisse zugehörigen Werte angibt. Die numerischen 

 Rechnungen wurden von Rechnerinnen an meinem Laboratorium ausgefiihrt, wobei 

 eine hinreichende Anzahl Kontrollformeln fiir die Richtigkeit der Resultate burgen. 

 Da ich aber weder selbst kontrolliert habe, dass kein Fehler der letzten Stelle in 

 einem Logarithmus vorhanden ist, noch eine Berechnung iiber den Grad der Genauig- 

 keit ausgefiihrt habe, was eine sehr zeitraubende Arbeit darstellen wiirde, so diirfte 

 beispielsweise nicht aus den Ordinatenunterschieden mit Sicherheit geschlossen wer- 

 den können, dass die Meridiankurven der beiden Flächen entsprechend dem vier- 

 maligen Vorzeichenwechsel derselben sich in vier Punkten schneiden, was nur durch 

 eine genauere Rechnung entschieden werden könnte. Wegen der grossen Anzahl der 

 Rechnungen diirfte aber geschlossen werden können, dass die Unterschiede nicht 

 grösser sind, als der in der Tabelle angegebene maximale. Da nun der Abstand der 

 beiden Flächen voneinander, wenn sie sich im Scheitelpunkte beriihren, annähernd 

 gleich dem mit sin <p multiplizierten Ordinatenunterschied ist, so beträgt der grösste 

 Abstand rund ein Zehntausendstel des Scheitelkrummungsradius. In einer plankon- 

 vexen Linse mit einem Scheitelkrummungsradius von 10 cm und einem Durchmesser 

 von 21 cm wiirde somit die grösste Abweichung der Form der Duplexfläche von der 

 des Hyperboloides durch einen Abstand von rund O.oi mm angegeben werden, und 

 wenn diese Linse an der ebenen Fläche von achsenparallelem Lichte getroffen wird, 



