KUMGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINOAK. BAND 60. N:0 I. 139 



Wird nun von diesem Punkte die Normale AF auf den Strahl ED gefällt und mit 



n' m 

 einem Radius BG=-AF-- ein Kreis um B als Mittelpunkt gezeichnet, so stellt 



der Schnittpunkt C der durch A gehenden Tången te dieses Kreises mit dem Strahle 

 ED den betreffenden Punkt der letzten Fläche dar, und ist somit CA der in der- 

 selben gebrochene Strahl. Wegen der ähnlichen Dreiecke hat man nämlich v ?ll . C B = 

 = n\ n .GA, und da die optische Länge vora Objektpunkte zum Punkte C gleich 

 SAn5 — n m . GB ist, so ist diese Länge zum Punkte A dieselbe auf dem gebrochenen 

 Strahle wie auf der Achse. 



In dem Falle, wo der Bildpunkt unendlich entfernt ist, sämtliche Strahlen 

 somit achsenparallel aus der letzten Fläche austreten miissen, wird die optische 

 Länge bis zu einer beliebigen im letzten Medium die Achse senkrecht schneidenden 

 Ebene gemessen. In diesem Falle versagt allerdings die obenstehende geometrische 

 Konstruktion, die entsprechende trigonometrische Berechnung bietet aber keine Schwie- 

 rigkeiten. 



Um nun auf trigonometrischem Wege den Punkt C sowie die Richtung der 

 Normale und den tangentialen Kriimmungsradius in demselben zu ermitteln, hat 

 man zunächst bei der Beschäftigung mit der Fläche m — 1 die Koordinaten x,y, des 

 Punktes B, bezogen auf O als Anfangspunkt des Koordinatensystems zu ermitteln. 

 Wird hierbei EB mit X bezeichnet und auf schon angegebene Weise berechnet, so 

 hat man, wenn xy die Koordinaten des Punktes E, bezogen auf den Schej.telpunkt 

 der Fläche m — 1 als Anfangspunkt, bezeichnen, 



x, = x + X cos vi — d y, = y — X sin u' , 



wo d den Abstand des Punktes O vom Anfangspunkte des Koordinatensystems dar- 

 stellt. Bei der Berechnung der letzten Fläche seien nun vorläufig die Winkel BCA 

 und BAG mit # bzw. e bezeichnet. Man erhält dann 



sin s : sin (s + «>) = n' : n = sin i : sin i' . 



Da ferner, wie aus der Figur hervorgeht, d = u' — u = i—i' ist, so resultiert 



sin i sin (e + &) — sin e sin (i — 9-) 

 und daraus 



tgt = — tge, 



welche Gleichung unter der Bedingung \i\<ö eindeutig ist. Da somit in der Figur 

 der Winkel O AB gleich u' — i = u — i' ist, so erhält man i' aus der Gleichung 



tg( W -*') = 7 ^ 

 und dann auf gewöhnliche Weise der Reihe nach i <p und u'. Weiter: 



