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3. Mathematisehe Begründung des Systems. 
Das geschilderte System der Blattstellungen ist entstanden 
durch die Vereinigung biologischer Beobachtungen mit geo- 
metrischen Überlegungen; es ist nicht nur in biologischer, sondern 
auch in mathematischer Beziehung ein geschlossenes System, 
Die in der Natur vorkommenden Blattstellungen stellen die 
Gesamtheit der Lösungen des folgenden Problems dar: Man 
bestimme alle regelmäßigen, unbegrenzt sich fortsetzen- 
dan Anordnungen von gleichsinnig oder ungleichsinnig 
ähnlichen Teilkörpern. Die geforderte Regelmäßigkeit der 
Anordnung bedeutet, daß jeder Teilkörper mit seinen Nachbar- 
körpern in gleicher Art und mit entsprechenden Flächen zu- 
sammenhänge. Die Ähnlichkeit im strengen mathematischen Sinn 
bedeutet Formgleichheit und Wachstum in geometrischer Progression. 
Damit das Problem lösbar sei, damit die Teilkörper in Flächen 
zusammenhängen und sich nicht bloß in Punkten berühren, müssen 
bestimmte Bedingungen erfüllt sein. Für die Anordnung in einer 
Reihe lauten diese sehr einfach: Jeder Teilkörper muß zwei 
gleichsinnig oder ungleichsinnig ähnliche Grenzflächen haben, die 
man sich anschaulıch als Schnitte durch den Stengel oder die 
Stengelrinde vorstellen kann. Für die schichtförmige Anordnung 
in zwei sich kreuzenden Richtungen kommen weitere Bedingungen 
über Ahnlichkeitsverhaltnis (Wachstumsgröße) und gegenseitige 
Lage der Grenzflächen hinzu. 
Dehnt man das Problem aus auch auf die regelmäßigen An- 
ordnungen kongruenter oder symmetrischer Körper, so 
kommen neue Möglichkeiten hinzu; ich erwähne die fünf regulären 
Polyeder, die als Symmetrieformen niedriger Organismen ebenfalls 
von Bedeutung sind’). 
Betrachtet man ferner die Anordnung kongruenter oder 
symmetrischer Teilkörper nach drei im Raume sich kreuzenden 
Richtungen, so erhält man als Lösungen die sämtlichen Symmetrie- 
klassen der Kristalle. er 
4. Biologische Bedeutung des Systems. 
Die mathematische Bearbeitung leistet dem Biologen den 
Dienst, für das Gesetz der Blattstellungen eine zusammen- 
fassende Formulierung zu geben; sie zeigt auch, welche 
Voraussetzungen notwendig gemacht werden müssen. Sache des 
Biologen ist es, die Bedeutung dieser Voraussetzungen und damit 
des ganzen Systems zu prüfen. 
1) Man vergleiche das — System* HACKELS in der 
»Generellen Morphologie der Organisme 
