4 A. v. BACKLUND. UBER MEHEDEUTIGE FLACHENTRANSFORMATIONEN. 



weise, durch die obigen Gleichimgen letzterer Raura auf ersteren bezogen, Wir stellen 

 nun aiich die Forderung auf, dass irgend zwei vereinigt liegende Flächenelemente des 



i?3, — d. h. Flächenelemente mit den Parametern x, y, z, 79 ='y^|, q (==^1 be- 



ziehungsweise x -\- dx, y + dy, z + dz, jj + dj), q + dq, fiir die es gilt, dass 



(2) dz = pdx + qdy, — 



mehrfach unendlich vielen Elementenpaaren ähnlichen Charakters des i?4 entsprechen, 

 so dass, wenn {Z , Xi, P^), {Z + dZ, Xi + dX-,, Pi + dPi) die Parameter der Elemente 

 eines derartigen Paares darstellen, 



(3) dZ = ^PidXi. 



Fiir irgend zwei in dieser Weise einander entsprechende Flächenelemente der beiden 

 Rävime gilt dann nach (2) nnd (3), mit (1) zusammengestellt, dass unabhängig von 

 den Werten von dX^, dX^, dX^ 



dF, — pdF^ — qdF2=0, 



falls nur fiir dZ der Wert (3) eingefiihrt wird. Damit bekommen wir fiir die Para- 

 meter x, ... g bez. A"i,...P3 der fraglichen korrespondierenden Flächenelemente die 

 Formeln (1) und hierzu: 



(IF^ JF, JF._ , „ {dF^ JF, JF, 



dj\ f)F, OF, 

 dX^ ^dX, ^ dX, ' 



Aber hieraus leuchtet sofort ein, dass in dieser Weise niir ein besonderes Gebiet 

 von Flächenelementen {ZXP) des B^ in Betracht gezogen wird, nämlich dasjenige, 

 das die nach Elimination von 'p, q aus (4) entspringende Determinantengleichung: 



(5) 



'Lli<p'lli 'Hl ^p 'Hl 'Hi^p 'H 

 (IX, '^ ^' dz' dx, '^ ' dZ' <)X, ^ ' dz 



ausscheidet. Ich bezeichne die Determinante mit dK Es wird (D linear in Bezug auf 

 Pi, P2, P3. Und das fragliche Gehiet von B^, das durch {1) und {4) auf den Baum B3 

 bezogen ivird, ist also das durch die lineare partielle Differentialgleichung © = O definierie. 

 Die Gleichungen (1) stellen ein Integralsystem von = dar, sobald x, y, z als willkiir- 

 liche Integrationskonstanten gedeutet werden. 



2. Verfolgen Avir etwas näher die gegenseitigen Beziehnngen von B^ und d) = O, 

 so finden wir sogleich die Punkte des B^ als Bilder der envähyiten Integrale {!) von 



