KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 5 



(/> = 0. Die Gleichungen (1) stellen nämlich eine Punktmannigfaltigkeit einer Dimen- 

 sion, eine M^ des B^ dar/ fiir die zinicächst Folgendes gilt. Jedes Flächenelement 

 [zxypq) des 7?3, welches durch den Punkt [x, y, z) gelit, ordnet jedem Punkte 

 (Xj, Xo, X^, Z) der erwähnten M\ vermittelst (4) ein bestimmtes Flächenelement 

 [ZXP) des 7?4 zn. Jedes dieser Elemente enthält ein Linienelement (c^i^i = 0, dF2 = 0, 

 dF3 = 0) der 31^ und geniigt offenbar der Gleichiing (5) öder © = 0. Die Ml wird 

 in dieser VVeise zu Leitkurve von oo^ Streifen, m. a. W. von oo ^ M^, die je einem 

 der möglichen oo - Fläehenelemente {zxyp q) durch {x, y, z) entsprechen und zugleich 

 Integrale von '/> = werden. Sie werden sogar Charakteristiken, charakteristiscke Mi 

 dieser Gleichung, namentlich Beriihrungsstreifen unendlichfach unendlich vieler Inte- 

 gralmannigfaltigkeiten zweier und dreier Dimensionen, d. h. Integral- Jf.. bez. Inte- 

 gral-Tli" 3 von © = O, die den verschieden gestalteten Streifen und Flächen des B^ durch 

 [x, y, z) entsprechen. Zwei Streifen in B^, die ein Element {zxypq) gemein haben, 

 werden Bilder zweier Integral-ilfo von = 0, die sich nacli der dem Elemente {zxyp) q) 

 entsprechenden charakteristischen Integral- Jf, (1) und (4) beriihren, vind genau die- 

 selbe Ml wird allén denjenigen Integral-ilfa von © = angehören, die denjenigen 

 Flächen in B^ entsprechen, welche dasselbe Element {zxyp) q) gemeinsam besitzen. 

 Öder kiirzer: 



jedes Flächenelement des B^ wird Bild einer charakteristischen M^ von © -= O ; je 

 zwei vereinigt liegende Fläehenelemente des B^ geben zu zwei an einander grenzenden 

 charakteristischen M^ Anlass, die auf ein und derselhen Integral-M 2 liegen; und durch 

 diejenigen oo ^ Fläehenelemente des B^, die ein und denselben Punkt enlhalten, werden 

 diejenigen co " Charakteristiken von = hestimmt, die an ein und derselhen Ml {1) 

 häften. 



Dass O = O eben diejenige lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung 



bedeutet, fiir welche die Ml (1), dabei x, y, z als willkiirliche Parameter betrachtet, 

 eine vollständige Lösung ausmachen, ist offenbar hierin mit enthalten. 



3. Jede partielle Dijjerentialgleichung des B3 filhrt in der nämlichen Weise ver- 

 mittelst (i) und {4) zu einer partiellen Differentialgleichung derselhen Ordyiung in B^, 

 die mit O = O Integrale grösstmöglicher Anzahl gemein hat. Diese Integrale werden Bil- 

 der in i?4 der Integrale der angenommenen partiellen Differentialgleichung in B^. 



Ich brauche nicht zu sägen, dass alle in dieser Weise in B^ entstandenen par- 

 tiellen Differentialgleichungen einer sehr speziellen Art sind. 



4. Durch ein Beispiel werde ich das Vorangehende sogleich erläutern; ich 

 schicke jedoch erst die Bemerkung voraus, dass die Gleichungen (1) ohne weiteres mit 

 einer Gleichung t = i erweitert werden können, wenn t, t' neue Variablen im erweiterten 

 Raume B^ bez. B^ bezeichnen, ohne dass dabei an den vorangehenden Betrachtungen 

 und Sätzen etwas zu ändern wäre, — vorausgesetzt dass in (1) Fi, Fo, I'\ von t und 

 i frei sind. 



^ Immcr wird liier mit il/]^. eine Mannigfaltigkeit von » ^' Punkten, mit Mk eine Mannigfaltigkeit vou 

 00 '« vereinigt liegendea Flächeuelementen, die ein zusammenhängendes Stiick von k Dimensionen ausfiillcn, be- 

 zeichnet. 



