6 A. v. BÄCKLUND, UBER MBHRDEUTIGE FLACHENTEANSFORMATIONEN. 



Icli denke hierbei besonders an die Gleichungen, die den Ubergang von den 

 rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten x, y, z zu den Polarkoordinaten r, (j , V, O ver- 

 mitteln. Ich ziehe dann zwei rechtwinklige Cartesische Koordinatens3^steIne in Be- 

 traclit, von denen das eine fest ist, das andere mit diesem den Anfangspimkt gemein 

 liat, im iibrigen aber frei beweglich ist. Jenes ist das x, y, s-System, dieses das 

 was ich ein i^", y], ^-System nenne. In beiden Systemen sind die Koordinatenachsen 

 in gleicher Weise zu einander orientiert. Ich verstehe nun unter r den Radius vector 

 des Punktes {x, y, z), lege durch ihn {r) die |/;-Ebene des zweiten Systems und ver- 

 stehe unter O die Neigung der xy- und t"(y-Ebenen zu einander, die gleich dem Winkel 

 (^'z) ist, ferner unter </' den Winkel zvvischen der .i:-Achse und der Schnittlinie der xy- 

 und |»/-Ebenen, dieser Winkel in der Drehungsrichtung von der positiven x- nach der 

 positiven vy-Achse positiv gezählt, endlich unter (f> die wahre Anomalie des Punktes 

 {x, y, z) d. h. den Winkel zwischen jener Schnitthnie der xy- und i?;-Ebenen und dem 

 Radius vector r, der ja in die i/^-Ebene fällt, dieser Winkel in der Richtung von der 

 positiven ^■- nach der positiven //-Achse positiv gezählt. Die fraglichen Gleichungen 

 werden dann sein: 



' • - x = r(cosr/)cos '/' — sin^/isin (/'cos^y), 



(6) ?/ = r (cos fp sin */' + sin (p cos '/' cos (I) , 



z = r sin ^y sin (p; 



die von der Form (1) sind, r = Z, (p = X^, if-» = Xo, = X^ gesetzt. 



Um die Rechnung zu erleichtern, nehme ich die i-Achse längs des Radius vec- 

 tor r und gehe durch die folgenden Formeln vom einen der beiden rechtwinkligen 

 Cartesischen Achsensysteme zum anderen, also vom x, y, z- zum 'i, i], C-Systeme iiber: 



X = ai + hl] + c'Q , tj = a'^ + b'»] + c' 'C, z = a" i;' + b" /; + c"'C . 



Hierin sind selbstverständlich die Gleichungen (6) einbegriffen, da ja jetzt 



Es wird nun allgemein: 



dep ' <)(p ' d(p ' 



da _ , da' _ da" 



— = — a, j^,-a, -Jip^ ' 



da . da' , . da" ,, . 



j^ = csmfp, j^ = c'sin(p, y^ = c smr/>, 



und die Anwendung der Gleichungen (4) auf (6), hier r = Z, (p = Xi, ^>=-X.^, O == X^ 

 gesetzt, ergibt dann: 



Ida" da da'\ , r> / n t\ n t 



'■U/r-P^-n7r/^)+^'(« -2.a-ga) = 0, u. s. f., 



also: 



