8 A. v. BACKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLACHENTRANSFORMATIONEN. 



Die letzte Gleichung fällt mit der schon in (7) entwickelten zusammen. Wir werden 

 sie unter der Form 



dv dv . Ov 



{ 10) cos 0-^ 7T-r — sm O cot (p ^- = O 



^ ' (hp (liji ' (II) 



in Gebrauch nelimen. 



5. FUgen wir den vorangehenden ;r, y, z-, Z, Xj, Xg, X3 die Grössen t und 

 t' als neue Variablen in R^, R^ liinzu\ betrachten t und /' etwa als Zeichen fiir die 

 Zeit und setzen 

 (11) t = t', 



so gilt nach dem eben Vorgetragenen, dass eine Funktion v {r, rp, xp, 6, t) nur dann 

 eine Funktion v {x, y, z, t) ist, wenn v ein Integral der Gleichung (10) ausmaeht, 

 immer x, y, z durch die Gleiclmngen (6) in r, (p, V, O ausgedriickt gedacht. 



Es möge nun beispielsweise eine solche partielle Differentialgleichung 1. O. in 

 i?3 vorliegen, durch die das Problem von der ungestörten Bewegung eines Planeten 

 um die Sonne analytisch formuliert vvird, so wissen wir aus den zwei vorangehenden 

 Nummern, dass die Transformation (6) sie in eine partielle Differentialgleichung 1, O. 

 in i?4 iiberfiihren muss, die mit (10) in Involution kommt, also mit ihr Integrale zu 

 grösstmöglicher Zahl gemeinsam besitzt. Die in Rede stehende Gleichung in R^ lautet: 



dv 1 lldv\^ IdvY iOv\'\_ Km ¥{M + m) 



wobei k die GAUSSsche Konstante, 31 die Masse der Sonne und 7n die des Planeten be- 

 zeichnet; — und aus (6), (8), (9), (11) folgt als ihre transformierte Gleichung in Ri-. 



Ot' 1 lldv\^ I ldv\^ ^ 1 ldvV\ Km 



dt 2m\\drj r^ \(hpj r^sin^(p\dO 



die also mit (10) involutorisch sein muss, Die hierfiir als nötig und hinreichend er- 

 kannte PoissoNsche Relation [i^ö>] = ist ja auch fiir (10) imd (13) erfiillt^ Es 

 leuchtet iibrigens aus der Form der Gleichungen fast unmittelbar ein, dass sie eine 

 Lösung in der Form: é' = eine arbiträre Konstante = i, v = f{r, rp, </', t) gestatten, und 

 dass hierbei / neben i und einer additiven arbiträren Konstante nocli zwei andere 



' Man vergesse nicht, dass liier Z = r, X^^(p, Xj = «/^ X^^O. 



^__0F d<I)^ dF 0(1) OF dO OF dO OF dO _0(D OF 



dm dF do dF dO dF d<D dF 



wobei oben mit F = die Gieicliung (13), mit 0=0 die Gleichung (10) gemeint wird. 



