10 A. V. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Koordinaten möglich sind, und da wir jetzt eine vollständige Lösung dieser Diffe- 

 rentialgleichung erhalten haben, nämlich die durch die Gleichung (14) ausgedriickte 

 Lösung mit ihren vier vvillkiirlichen Konstanten: a, (i, y nebst der additiven — F{r^, a, /?) 

 in (16'), so finden wir die fraglichen Charakteristiken in integrierter Form einfach durch 

 die Gleichungen : ^ 



vvobei T, w, V'o die neuen Integrationskonstanten bezeichnen. Also ergibt sich unter 

 Beachtung der Gleichungen (14) — (16') fiir jene Bewegungen das Gesetz: 



r r 



ro ro 



wodurch auch die voUe Bedeutung der neuen Konstanten deutlich hervortritt: t und 

 10 werden die dem Werte ro von r entsprechenden Werte von / und (p und sind 

 selbstverständlich reell, falls Tq zwischen die Grenzwerte von r fällt öder gleich einem 

 derselben wird, diese Grenzwerte off enbär als Wurzeln der Gleichung dr I dt =0, d. h. 



(19) 2mr{Km — ar) — (P = 



gegeben und also von « und (i abhängig. Setzen wir fiir ro die kleinste jener Wur- 

 zeln in die Gleichungen (18) ein, nachdem wir die gezeichneten Differentiationen von 

 U nacli a und [i ausgefiihrt haben, so bekommen r bez. w die Bedeutungen der Zeit 

 des Durchgangs durchs Perihel und der wahren Anomalie dieser Stelle der Bahn. Die 

 dritte der Gleichungen (18) besagt, dass während der ungestörten Bewegung des 

 Punktes (.r, y, z), d. h. des Planeten m, '/' unverändert erhalten bleibt. 

 Die Gleichungen (17) leliren ferner, dass 



«, 1^, 7 



— T, — frj, — «/'o 



ein System sogenannter kanonischer Elemente der elliptischen Bewegung des Planeten 

 {x, y, z) ausmachen, d. h. ein System ähnlich dem von 



^ /y* ru* 



dz dz dz 

 dx^' dx^ 9x3 



^ Jede Cliarakteristik ist nämlich als Schnitt zwischen dem Integralc v^=f(r, </>, i/'i t, <'. /^» 7) + ^ 

 und den unendlich benachbarten Integralen: v = f(c( + da, /:?, y) + C + dC , v = f{c(, ji + dji, y) + C + 

 + d'C , v = f(a, (i, y + dy) + C + d" C aufzufassscn. / ist die Funktion (14). 



