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A. V. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLACHENTRANSEORMATIONEN. 



vorhanden sind, so können wir in ihnen einen Zusammenhang zwischen den Punkten 

 der zwei Räume F^ imd B^ erblicken, bei dem jedem Punkte {Z , X^, X,,, Xg) des 

 i?4 eine Kur ve des R^, und jedem Punkte [x, y, z) des i?3 eine Punktmannigfaltigkeit 

 zweier Dimensionen, eine Ml, in i?4 entspricht. Wenn auch jetzt die Bedingungen (2) 

 und (3) immer gleichzeitig erfiillt sein sollen, so muss sein: 



dx 



^ oz dx\dy ^ dzj ^ dx \oXi dZ 



^^ ()z^ dx\dy^^ dzi^ ^ 



O, 



i-l 



dXj I dfp dep 



dx \(lXi 'OZ 



in dem Sinne, dass fiir beliebige Werte von dXJdx stets die folgende Gleichung Gel- 

 tung hat: 



()x <)z ^ dx \OXi OZj Oy ^ dz 



3 



'^'^ + pS + 2'^^^'^'''^ 



dx 



dz 



i = \ 



dx \dXi^ 'dZJ' dy^^ dz 



0. 



Wir driicken dasselbe einfacher durch die Forderung aus, dass fiir ein und den- 

 selben Wert von I die sämtlichen fiinf Gleichungen bestelien sollen: 



(21) 



dz \dx dz] 



df , Idrn drn 



dx 



IL , Jf 



dy 



dy ^ dzi 



(22) 



IL 4. p IL + 7 ilv_ ,p M-o 

 dX, ^^^dz^ \dx. ' dz] ~^' 



Of 



+p.ä+l 



dep 



+ p. 



Up 



= 0. 



Die Elimination von x, y, z, X aus den zwei Gleichungen (20) und den drei 

 (22) fiihrt dann zu einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in B^: 



(23) 



(I>[Z, X,, X„ X„ P„ P„ P,)=0. 



Wir sind also jetzt wie in dem im vorangehenden § erörterten Falle von den 

 Flächenelementen {z x y p q) des Bj zu cc'^ und zwar nur go "^ der go '^ Flächenelemente 

 {Z X P) des i?4 gefiihrt worden. Diese oo *"' Elemente werden durch die Gleichung 

 (23) ausgeschieden. 



