-KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. NIO 4. 13 



7. Die Gleichungen (20) stellen hierbei ein allgemeines Integral mit x, y, z 

 als willkiirlichen Konstanten der Gleicliung (23) dar. Fur die Parameter P^, P2, P3 

 derjenigen Flächenelemente, die sicli an diese Integral-Jf ^ anschliessen, gelten näm- 

 lich nur die Gleichungen (22) mit /. als beliebig variierendem Parameter, und in jedem 

 Punkte einer jener 31 ^ gibt es also ein ganzes Biischel von Beriihrungselementen 

 {Z X P). Und weil sie alle dem Gebiete (23) angehören, machen sie auch jene Ml 

 zu Integral-Jfa von ® = 0. Alle anderen Integral-il/g dieser Gleichung sind als Um- 

 hiillungen jener M^ zu betrachten. 



Die Go ^ Elemente {Z X P), die ein beliebiges Element {z xy p q) des P^ nach 

 den Gleichungen (20) — (22) liefert, liegen zu je zwei unendlich benachbarten mit 

 einander vereinigt und bilden damit eine Integral- Jfj von (Z> =- 0. Sie sind aber In- 

 tegral- Jlfj einer ganz besonderen Art, denn je zwei derselben, die zwei vereinigt liegen- 

 den Elementen (2 x y p q) entsprechen, liegen auch selbst ihrer ganzen Erstreckung 

 nach mit einander vereinigt. Aus solchen M^ setzen sich daher 00 "" Integral-Ma und 

 Integral-il/s zusammen, jene den Streifen und diese den Flächen in R^ entsprechend. 

 Jene M^, 00^ an Zahl, werden Charakteristiken, jene cc'^ M2 charakteristische M2 der 

 Gleichung © = 0. 



8. Die Gleichung (23) wird demnach durcli ihre Integrale (20) so auf den 

 Raum i?3 abgebildet, dass ein jeder Punkt des B^ das Bild gerade einer dieser Integral- 

 Ml wird. Aber das Vorhandensein dreifach unendlich vieler soldier Integrale von 



(23) zeichnet diese Gleichung unter den partiellen Differentialgleichungen 1. O. des 

 i?4 als eine sehr spezielle aus. Die Gleichung © = des vorigen § hatte auch einen 

 sehr speziellen Charakter, weil es nämlich fiir sie go ^ ilf^ (1) gab, die zugleich Inte- 

 gral- J/3 waren. Und weil sämtliche diese Ml ausserdem die Leitkurven von je 00 ^ 

 Charakteristiken jener Gleichung (5) ®=0 ausmachen, und deswegen jede beliebige 

 Schar von 00 ^ derselben eine M^ biidet, die auch Integral-ilfa derselben Gleichung 

 wird, so geliört diese Gleichung (5) des § 1 sogar einer speziellen Gattung der in den 

 nächstvorhergehenden zwei Nummern betrachteten Gleichungen © = O an. 



9. Das voUständige Integral einer partiellen Differentialgleichung 1. O. allge- 

 méinster Art in i?^: 



(24) -^PiZ, X,, X„ X„ P,, P„ P,)^0 

 ist allein durcli eine Gleichung: 



(25) fix, y, z, Z, X,, X„ .Y3) = O 



mit X, y, z als arbiträren Konstanten auszudriicken. Aber dieses Integral biidet die 

 Gleichung W = in wesentlich derselben Weise auf i?3 ab, wie es die Gleichungen (1) 

 bez. (20) fiir die obigen Gleichungen (5) und (23) getan haben. Die Bedingung des 

 gleichzeitigen Bestehens der Relationen (2) und (3) fiihrt nämlich jetzt zu den fol- 

 genden fiinf Gleichungen: 



