14 A. v. BÄCKLUND, UBEB MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



die im Verein mit (25) zeigen, dass ein jeder Punkt des B^ das Bild einer Integral-M^ 

 {25) wird, ein jedes Flächenelement {z x y ]) q) das Bild einer charakteristischen M^ von 

 W = 0, ein jeder Streijen des i?^ das Bild einer charakteristischen M^ und endlicli eine 

 jede Kurve öder Fläche des B^ das Bild einer Integral- 31-^, die oo ^ bez. oo ^ der M^ {25) 

 umhiillt. 



Eine jede partielle Differentialgleichung erster Ordnung in i?3 fiihrt zu einer 

 partiellen Differentialgleichung derselben Ordnung in B^, die mit '/^=0 in Involution 

 liegt, so dass sie mit ihr Integral-Jfa in grösstmöglicher Zalil gemein hat. Diese In- 

 tegrale haben die Integralflächen der angenommenen partiellen Differentialgleichung des 

 7?3 zu Bildern, und die C har akteristiken dieser Gleichung veranlassen die charakteristi- 

 schen Mo des aus W =0 und der neuen Gleichung des B^ gehildeten Gleichung spaares. 

 Von der Transformation (25), (26) känn natlirlich in Betreff der neuen Gleichung 

 des i?4 nur das fiir sie und fiir W = O gemeinsame geliefert werden. 



Unter derselben Beschränkung fiihrt eine partielle Differentialgleichung höherer 

 Ordnung in i?^ zu einer partiellen Differentialgleichung eben derselben Ordnung in 

 i?4, die mit W = O Integral-M^ und char akter istische M2 der grösstmöglichen Anzahl ge- 

 mein hat. 



Dies allés gilt of f enbär nicht nur fiir die Gleichung '1^ = 0, sondern aucli fiir 

 die spezielle Gleichung (D = des § 1, wie schon ausdriicklich in N. 3 bemerkt wor- 

 den ist, und es gilt aucli fiir die Gleichung © = O der vorangehenden Nummern dieses 

 Paragraphen. 



Von dieser Abbildung habe ich aucli friiher in Bd. IX (1875) der Math. An- 

 nalen in meiner Abhandlung: (Jher Flächentransformationen gesprochen. 



10. Als Beispiel zur Anwendung der vorgetragenen Theorie gebe ich hier eine 

 Erledigung der Aufgabe, die partielle Differentialgleichung erster Ordnung des i?4: 



(24') 1 +P; 4-P^ + P^=0 



auf den Raum B^ abzubilden. In meinem ersten Aufsatze iiber Fragen vorliegender 

 Art im Jahre 1874 in Bd. X von Lunds universitets årsskrift habe ich zwar die er- 

 wähnte Aufgabe zur Behandlung aufgenommen, aber nur in knappesten Umrissen 

 ihre Erledigung angedeutet. Siehe § 11 des Aufsatzes. Jetzt werde ich näher auf 

 dieselbe Frage eingehen. 



Die Charakteristiken von (24') werden Geraden in B^ von der Länge null; die 

 Kugeln des B^. 



