KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 15 



(25') {x-X,r + (y-X,r + {z-X,r + Z-^^0 



bilden eine allgemeine Lösung von (24') und die liierzu geliörenden Abbildungs- 

 gleichiingen lauten: 



x — X^ + p{z — X^)=-0, y—X, + q{z — X3) = 0, 

 (2G') 



x — X^ — P,Z = 0, y — X^~P^Z = 0, z — X^ — P^Z = 0. 



Eine beliebige Fläche in R^ f iihrt dabei zii einer Ifg in i?4, die von oo ^ Geraden 

 der Länge Null erzeiigt ist, die ilirerseits von zwei den Kriimmungslinien der Fläche 

 des i?3 entsprechenden Kurvenscliaren der Länge Null umhiillt sind. Diese Kurven- 

 scharen bilden zwei M\, wovon unten weiteres. 



Jede partielie Differentialgleicliung 1. O. in i?3 fiihrt ferner zu einem involuto- 

 rischen Paare von partiellen Differentialgleichungen derselben Ordnung in R^, worin 

 (24') stets die eine der Gleicliungen ist. Nun ist nach (26'): 



(a) x = X,+P,Z, y = X, + P,Z, z = X, + P,Z, p = -PJP^, q = _pjp^. 



daher 



0{x, y, z, p, q) = 0{X, + P,Z, X, + P,Z, X, + P,Z,-PJP,,-PJP,), 



und also ist 0{x, y, z, p, q) das Bild in R3 der Funktion F {Z, X^, X^, X^, P^, P2, P3), 

 wenn nur 



(b) F = 0{X, +P,Z,.. .-PJP,) + kil +P\ + Pl+ Pl), 



möge I irgend welche Funktion von Z, X, P bedeuten, die jedocli fiir die VVerte 

 von P, die die Gleichung (24') erfiillen, weder selbst unendlicli wird noch unendlich 

 grosse erste Derivierten bekommt. Mit Bezug hierauf und auf die Gleichung (24') 

 diirfen wir aus (b) schliessen; 



OF 00 OF do dF dO OF (dO dO d(D\ 



t()0_ dO_ dO\ 

 \dz '^Jx~^Tyj 



OX, dx' (IX, <)y' ()X, dz' <)Z '\dz "^ öx ^äyj' 

 , , OF 00 „ \ 0(1) ^.^ OF 00 „ 100 ^.^ 



(^) öpr^^-p.-^-''^'^' opr-^^-p.^-'^^-'' 



OF 00 „ 1 / 00 00 



dP, Oz 



I I 00 O0\ „, „ 



und erkennen dann, dass, ivenn F von Pj, P2, P3 frei ist, also wenn: 



/JN (^F ^ OF ^ OF ^ 



(^) öpr''<>pr''dpr'' 



es sein muss: 



