1'6 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



„„ 100 , O0\ 00 ^, ^(10 



'q 



(e) 



100 O0\ 00 , „O0 



wie es durch Elimination von I aus (c) iind (d) hervorgeht, 



Hierin hatten wir den Wert von Pg aus (24') und den zwei letzten der Glei- 

 chungen (a), somit einfach aus der Gleichung 



(f) l + P^(l + P^ + g^) = 



einzufiihren, aber Z bleibt unbestimmt. Die Elimination von Z ergibt daher zur Be- 

 stimmung von eine partielle Differentialgleichung 1. O. mit x, y, z, p, q als unab- 

 hängigen Variablen, nämlich die folgende: 



00 I 00 O0\\ 100 O0\ 100 I 00 O0\\ 100 O0\ 



Jp-^^i^Jp-^ ^-Oqjj [jy +^J^) = [0q+'^ {^Jp + ^Ijqj] fe + ^^) " 



Ihre Integrale liefern also diejenigen partiellen Difjerentialgleichungen erster Ord- 

 nung des R^: 



(g) ®(z> X, y, V, ?) = 0, 

 die den M^ des R^: 



(h) F{Z, X,, X„ X,) = 



entsprechen. 



Wenn dx, dy, dz, dp, dq einer Charakteristik von (g) und d§, drj, dt, der 

 Schnittlinie der zwei Elemente {z x y p q), {z + dz,...q + dq) dieser Charakteristik ange- 

 hören, haben wir: 



, , , , 00 00 00 00 100 O0\ 100 00 



dx : dy: dz : dp : dq = ^^ : ^~ : p -— + q ^— : — {-— + p^r-\ : — \~. \r q-j- 



"^ ' ^ Op O q ' Oj) ^ O q \0x Ozj \0y ^ Oz 



und dpd^ + dqdr] = 0. Die erwähnte partielie Differentialgleichung fiir driickt 

 somit niclits anderes aus, als dass 



(dx + pdz)dS, + [dy + qdz)dr] = O, 

 d. i. 



dxd^ + dydtj + dzd'C,=0; 



sie besagt also, dass die Richtungen {dx, dy, dz), {d^, dtj, d<^) auf einander senkrecht 

 stehen und dass demzufolge die Charakteristiken von (g) Kriimmungslinieyi auf deren 

 Integralflächen werde7i. 



Man känn die Gleichungen (e) folgenderweise etwas vereinfachen. Erstens fin- 



det man nämlich durch ihre Auflösung nach -.-t— und , : 



'^ Op oq 



