18 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRUEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Denken wir hernach an die Bedeutiing der Gleichungen (1), (!'). Wir haben 

 nach (26'): 



Y M Y H Y S 



(m) P =— t±i "Il p =_r^i? -^ p ^3 — .i:3 



Z — Z ' ' Z — Z ' '' Z — Z ' 



wenn Xj, X^, Xs, Z bez, Hj, So, S3, Z die Parameter irgend zwei das Element 

 {z X y p q) enthaltender Kugeln (25') bezeichnen. In (1) können wir diese Werte von 

 Pi, P2, P3 eintragen, sei es mit Äi = X',-, Z = Z' öder mit £, = X,- + c? Z,- , Z = Z + dZ. 

 Im letzteren Falle erhalten wir aus (1): 



woraus folgt, dass ein jedes Flächenelement {z x y p q), das der partiellen Differential- 

 gleichung Q> = O geniigt, Beriihrungselement zweier unendlicli benachbarter Kugeln' 

 der dreifachen Unendlichkeit {Ms)F = derselben ausmacht, Eine jede Integralfläche 

 von = wird daher in jedem Punkte von einer Kugel der Mannig jaltigkeit F ^0 

 stationär beriihrt; öder, die eine Schar ihrer Haupfkugeln ist in der Kugelmannig- 

 faltigkeit F = enthalten. Aus der eben entwickelten Form fiir [WO] ist dann ferner 

 zu schliessen, dass die Bedingung dafiir, dass die Gleichungen ö> = 0,f^ = OQo' Integral- 

 flächen gemein haben, deren Hauptkugeln diirch ihre eine Schar {ZXi) die Kugelman- 

 nigjaltigkeit F = 0, durch ihre andere Schar {Z'Xl), {Z' r^ Z), die KugelmannigfaJtigkeii 

 G = ausf Ullen, sich durch die Gleichung ausdrilckt: 



dI^J)G_ OF^jOG^ dF^jlO_ <IF 0G_ ^ 

 ^^' dX,dX\ "^ dX^dX\ '^ dX^dX\^ dZilZ'~ 



Von den zwei Ml in i?4, die, wie im Anfange dieser N. erwähnt, mit den zwei 

 Scharen von Kriimmungskurven der Fläche in R^ eng verkniipft sind, finden wir, 

 wenn wir Xj, X2, X3; X\, X'2, X'3 als rechtwinklige Koordinaten zweier Punkte des 

 R^ deuten, dass die Werte von Xj, X2, X3, Z, die einem Punkte in R^ einer unserer 

 zwei M\ gehören, den Mittelpunkt und den Radius einer Hauptkugel imserer Fläche 

 in i?3 ergeben. Wenn wir nach gehöriger EUmination von Z, 7J fiir unsere zwei M\ 

 die zwei Gleichungen 



*o^ 



i^,(X,, Z,, X3)=0, F,{X\, X',, X'3) -O 



erhalten haben, erblicken wir dann auch hierin die Gleichungen der zivei Mantel flächen 

 der Evolute der Fläche des R^. 



Ich breche hier ab, um später im zweiten Abschnitte dieser Abhandlung diese 

 Betrachtungen weiterzufiihren. 



11. Zu dem Gleichungssysteme (20) — (23) könnten wir beliebig eine neue Glei- 

 chung, die nicht mit (23) in Involution liegt, hinzufiigen; es sei: 



1 {Z,X,,..X,), {Z + dZ, X,+dX,,..X, + dX,). 



