KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 19 



(27) </y(z, X„ X,, X„ P,, P„ P,) = 0. 



Es handelt sich dann um die Abbildung aller fiir ö> = O (23) iind ö)' = O gemeinsamer 

 Elemente {Z X P) und der von ihnen gebildeten Integralmannigfaltigkeiten auf 7?3. 

 Statt von einer Gleichung (27) auszugehen, wären wir offenbar ebensogut durch Hinzu- 

 nahme eines beliebigen Wertes von 1: 



(27') l = F{x, y, z, p, q, Z, X,, X,, X,) 



zu (21), (22) zu derselben Aufgabe gelangt. Jedenfalls fiihrt jetzt ein Element {z x y pq) 

 zu einem fiir ö> = und «/>' = gemeinsamen Flächenelemente {Z X P), jeder Streifen 

 in Rj zu einem Integralstreifen und jede Flache in i?3 zu einer gemeinsamen Integral- 

 Jfa derselben Gleichungen, 



Wenn W = 0, fl>'==0 involutorisch sind, was freilich oben ausgeschlossen war, 

 so ergibt sich eine Schar von oo * Elementen {z x y p q) in i?^, die insofern eine Aus- 

 nahmestellung einnehmen, als einem jeden von ihnen gebildeten Streifen eine ganze 

 den zwei Gleichungen gemeinsame Integral-lfo entspricht, die auch einer ihnen ge- 

 meinsamen Integral-iHa angehört, Dies leuchtet aus N. 9 ohne weiteres ein. 



Aber wir erkennen vielleicht am besten die Bedeutung des Gesagten, wenn 

 wir darauf achten, dass eine jede 3f " in i?^ die Leitkurve eines bestimmten Integral- 

 streifens, d. h, einer bestimmten Integral-ilfi des Gleichungspaares (0 = 0, (Z)' = Owird, 

 unabhängig davon ob diese Gleichungen involutorisch sind öder nicht. Jener Integral- 

 streifen hat aber einen bestimmten Streifen in B^ zum Biide, und eine jede Fläche 

 in B-i durch diesen Streifen wird durch die Gleichungen (20) — (22), (27') in eine fiir 

 f/> = und ®' = gemeinsame Integral- ilf 2 transformiert. Es gehen somit 00 "^ Inte- 

 gral-ilfa dieses Gleichungspaares durch den oben konstruierten Streifen in B^ hindurch. 

 Er wird jedocli deshalb nicht als Charakteristik zu betrachten sein, denn wir sehen 

 keine Integral-ilfg durch ihn hindurchgehen, falls nicht die Gleichungen des Paares in- 

 volutorisch sind. Aber ivenn sie es sind. so ergibt sich eine derartige Integral-M 3, aber 

 auch im allgemeinen durch den Streifen nur eine einzige solche M3. In diesem Falle, 

 wenn also = 0, 0' =0 involutorisch sind, haben wir iibrigens auch mit charakteristi- 

 schen 31., zu rechnen, durch die 00 °° Integral-ilfg des Gleichungspaares hindurchgehen. 

 Vgl. das zweite Stiick der N. 9. 



Andernfalls können wir, wenn fiir (/> = O und </>' = O die PoissoNsche Kombi- 

 nation [00'] nicht verschwindet, 0' = durch eine Bedingung wie die oben hinzuge- 

 nommene: 



l = F{x, y, z, p, q, Z, .Y,, Xj, X3) 

 ersetzen und erkennen dann, dass die Gleichungen (20) — (22) uns jetzt ergeben: 



Z =ip (z, X, y, p, q), 

 Xi = ipi( ), 



P»=Zi( ),*=!, 2, 3, 



